Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática›Análise Combinatória em Matemática
Código
ce185708
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
SEFAZ-AC
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Técnico da Fazenda Estadual
Para fazer a autenticação no sistema da secretaria de fazenda, um usuário recebe, via telefone cadastrado, um código de 4 dígitos formado por duas letras minúsculas e dois números. Nessa situação, caso o código nunca apresente duas letras repetidas e nem dois números repetidos, então, considerando que o alfabeto tem 26 letras, a quantidade de códigos que o usuário pode receber é igual a
A67.600.
B60.840.
C45.540.
D52.900.
E58.500.
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GabaritoE — 58.500.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 58.500 códigos (alternativa E).
A ideia por trás
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é a base da análise combinatória: se uma escolha tem m possibilidades e, depois dela, outra tem n, o total de combinações é m × n. Ele serve para contar sequências de decisões independentes, como formar senhas ou códigos. Aqui, cada posição do código é uma decisão: escolher a primeira letra, a segunda, o primeiro número e o segundo. A restrição de não repetição reduz as opções a cada passo: depois de escolher uma letra, restam 25; depois de escolher um número, restam 9. O total é o produto dessas quantidades, pois cada combinação de escolhas gera um código diferente. Nesta questão, o PFC é aplicado diretamente, com a atenção de não permitir repetições.
O que a questão dá
alfabeto = 26 letras
código = 4 dígitos: 2 letras minúsculas e 2 números
sem repetição de letras
sem repetição de números
O que queremos: a quantidade de códigos possíveis
Passo 1 — Contar opções para a primeira letra
O código começa com uma letra. Como não há restrição de repetição para a primeira, todas as 26 letras do alfabeto estão disponíveis.
NÃO CAIA NESSA!
Nenhum erro comum aqui, mas é importante não reduzir as opções sem motivo.
Passo 2 — Contar opções para a segunda letra
A segunda letra não pode ser igual à primeira, então uma opção já foi usada. Isso reduz o total de letras disponíveis de 26 para 25.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer a restrição e contar 26 opções para a segunda letra, o que levaria a permitir repetição.
Passo 3 — Contar opções para o primeiro número
Agora passamos para os números. Os números vão de 0 a 9, totalizando 10 opções. Não há restrição de repetição com as letras, então todas as 10 estão disponíveis.
NÃO CAIA NESSA!
Nenhum erro comum aqui, mas é importante não confundir com a contagem das letras.
Passo 4 — Contar opções para o segundo número
O segundo número não pode ser igual ao primeiro, então uma opção já foi usada. Isso reduz o total de números disponíveis de 10 para 9.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer a restrição e contar 10 opções para o segundo número, permitindo repetição.
Passo 5 — Multiplicar as opções de cada posição
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de códigos é o produto das possibilidades de cada posição, pois cada escolha é independente e a ordem é fixa (letras primeiro, números depois).
Por que esta fórmula: O PFC diz que se uma escolha tem m modos e outra tem n, o total é m × n. Aqui temos quatro escolhas sucessivas, então multiplicamos todas as quantidades.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 2 · = passo 3 · = passo 4
NÃO CAIA NESSA!
Calcular 26 × 26 × 10 × 10 = 67.600, ignorando as restrições de não repetição.