Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2024

Alocação ótima de Neyman em amostragem estratificada

Gabarito: letra C (CERTO). A alocação ótima de Neyman, com custo constante, define o tamanho da amostra em cada estrato como proporcional ao produto do tamanho do estrato pelo seu desvio-padrão: $n_i = n \times \frac{N_i \sigma_i}{\sum N_j \sigma_j}$. Isso significa que ela considera tanto o tamanho dos estratos quanto a variabilidade interna (via desvio-padrão), exatamente como afirma o enunciado. As duas desvantagens apontadas também são corretas: a alocação ótima não produz estimador autoponderado (exige pesos amostrais) e depende das variâncias populacionais dentro dos estratos, que em geral são desconhecidas.

A amostragem estratificada divide a população em estratos homogêneos internamente e heterogêneos entre si, retirando amostras de cada estrato. A alocação das unidades entre os estratos pode ser feita de três formas principais: uniforme, proporcional e ótima. A alocação proporcional distribui a amostra proporcionalmente ao tamanho de cada estrato ($n_i = n \times N_i/N$), ignorando a variabilidade interna. Já a alocação ótima de Neyman, além do tamanho, incorpora o desvio-padrão de cada estrato, minimizando a variância do estimador da média para um custo fixo. Essa é a diferença central que a banca explora: enquanto a proporcional só olha o tamanho, a ótima olha tamanho e variabilidade.

A primeira desvantagem citada — a não autoponderação — é real. Na alocação proporcional, o estimador da média é autoponderado, pois cada elemento da amostra representa o mesmo número de elementos da população. Na alocação ótima, como as frações amostrais variam entre estratos, o estimador deixa de ser autoponderado, exigindo o uso de pesos amostrais (inversos das probabilidades de inclusão) para estimar corretamente os parâmetros populacionais. A segunda desvantagem também procede: a fórmula da alocação ótima depende dos desvios-padrão populacionais de cada estrato, que raramente são conhecidos na prática, sendo necessário estimá-los a partir de dados anteriores ou de uma amostra piloto.

A pegadinha clássica é confundir a alocação ótima com a proporcional. A banca pode afirmar que a alocação ótima considera apenas o tamanho dos estratos, ou que a proporcional considera a variabilidade — ambas são inversões do conceito. Aqui, o enunciado descreve corretamente a alocação ótima e suas limitações, tornando a assertiva verdadeira.

Item — ✅ CERTO

A assertiva está correta em todos os seus elementos:

1. Considera tamanho e variabilidade: a alocação ótima de Neyman define $n_i \propto N_i \sigma_i$, ou seja, proporcional ao tamanho do estrato multiplicado pelo desvio-padrão da variável de interesse. Isso confirma a primeira parte da afirmação.

2. Não autoponderada: como as frações amostrais diferem entre estratos, o estimador da média não é autoponderado, exigindo pesos amostrais. Correto.

3. Variâncias desconhecidas: a alocação ótima depende dos desvios-padrão populacionais, que geralmente são desconhecidos, sendo uma limitação prática reconhecida. Correto.

Portanto, a afirmativa está CERTA.

Gabarito: letra C (CERTO).