Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Teste de hipóteses para a média com variância desconhecida e intervalo de confiança

Gabarito: letra C (CERTO). O intervalo de confiança de 95% é [10,5; 11,5], simétrico em torno da média amostral, logo a média amostral é $\bar{x} = 11,0$ e a margem de erro é 0,5. Como a variância é desconhecida e $n = 64$, a estatística de teste segue distribuição t de Student com 63 graus de liberdade. O enunciado informa que $P(|T| > 2) = 0,05$, o que implica que o quantil bilateral de 5% é $t_{0,025;63} = 2$. Assim, o erro padrão estimado é $s/\sqrt{n} = 0,5/2 = 0,25$. Para o teste unilateral à esquerda com nível de significância de 2,5%, o valor crítico é $t_{0,025;63} = 2$ (pois a cauda inferior de 2,5% corresponde ao quantil $t_{0,025}$). A região de rejeição é $\bar{x} < \mu_0 - t_{0,025} \cdot s/\sqrt{n} = 10 - 2 \cdot 0,25 = 9,5$. Portanto, a hipótese nula é rejeitada se a média amostral for estritamente inferior a 9,5, exatamente como afirma o item.

O ponto central desta questão é a relação entre intervalo de confiança e teste de hipóteses. Um intervalo de confiança de nível $1-\alpha$ contém todos os valores de $\mu_0$ para os quais a hipótese nula $H_0: \mu = \mu_0$ não seria rejeitada em um teste bilateral com nível de significância $\alpha$. No entanto, aqui o teste é unilateral à esquerda ($H_1: \mu < 10$), e o nível de significância pedido é 2,5%, que corresponde à metade do nível bilateral de 5%. Essa é a chave: o quantil usado no intervalo de confiança de 95% é exatamente o mesmo quantil usado no teste unilateral de 2,5%, pois ambos utilizam a cauda de 2,5% da distribuição t.

Vamos reconstruir os passos:

1. Média amostral: o intervalo é simétrico, então $\bar{x} = \frac{10,5 + 11,5}{2} = 11,0$.

2. Margem de erro: $E = 11,5 - 11,0 = 0,5$.

3. Quantil t: para 95% de confiança bilateral, cada cauda tem 2,5%, logo o quantil é $t_{0,025;63}$. O enunciado fornece $P(|T| > 2) = 0,05$, ou seja, $P(T > 2) = 0,025$ e $P(T < -2) = 0,025$. Portanto, $t_{0,025;63} = 2$.

4. Erro padrão estimado: $E = t_{0,025} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \Rightarrow \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,5}{2} = 0,25$.

5. Teste unilateral à esquerda com $\alpha = 2,5\%$: o valor crítico é $t_{0,025;63} = 2$ (mesmo quantil, pois a cauda inferior de 2,5% é simétrica). A estatística de teste é $T = \frac{\bar{x} - 10}{s/\sqrt{n}}$. Rejeita-se $H_0$ se $T < -2$, ou seja, se $\bar{x} < 10 - 2 \cdot 0,25 = 9,5$.

Portanto, a afirmação está correta: com nível de significância de 2,5%, a hipótese nula seria rejeitada se a média amostral fosse estritamente inferior a 9,5.

Gabarito: letra C (CERTO).