Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce186598

Intervalo de confiança e teste de hipóteses com variância desconhecida

Gabarito: letra C (CERTO). A média amostral é o ponto médio do intervalo simétrico de 95% de confiança, ou seja, $\bar{x} = \frac{10,5 + 11,5}{2} = 11$ . O desvio padrão amostral é obtido da semiamplitude do intervalo: como $P(|T| > 2) = 0,05$ para a distribuição t com 63 graus de liberdade, o quantil crítico é $t_{0,025;63} = 2$ , e a semiamplitude é $2 \cdot \frac{s}{\sqrt{64}} = 0,5$ , o que resulta em $s = 2$ . Portanto, a afirmação está correta.

O intervalo de confiança para a média populacional quando a variância é desconhecida é construído com a distribuição t de Student. A fórmula é:

\bar{x} \pm t_{\alpha/2;\,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}

em que $\bar{x}$ é a média amostral, $s$ é o desvio padrão amostral, $n$ é o tamanho da amostra e $t_{\alpha/2;\,n-1}$ é o quantil da distribuição t com $n-1$ graus de liberdade que deixa área $\alpha/2$ em cada cauda. Como o intervalo é simétrico, a média amostral é exatamente o ponto médio entre os limites inferior e superior. A semiamplitude (ou margem de erro) é a distância entre a média e qualquer um dos limites.

A pegadinha da banca está em exigir que o candidato perceba que o quantil informado, $P(|T| > 2) = 0,05$ , já fornece diretamente o valor crítico $t = 2$ para um intervalo bilateral de 95% de confiança. Muitos candidatos tentam buscar o valor na tabela t ou confundem com o quantil da normal padrão (1,96), mas o enunciado já entrega o número necessário. Além disso, é preciso lembrar que o desvio padrão amostral é usado no erro padrão, e não o desvio padrão populacional, pois a variância populacional é desconhecida.

1Média = ponto médio do intervalo
2Semiamplitude = limite − média
3Erro padrão = s/√n
4Iguala semiamplitude a t·(s/√n)
5Isola s e confere

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Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação é correta. Vamos verificar cada valor:

Média amostral: como o intervalo é simétrico, a média é o ponto médio:
$\bar{x} = \frac{10,5 + 11,5}{2} = 11$

Desvio padrão amostral: a semiamplitude do intervalo é $11,5 - 11 = 0,5$ . A semiamplitude é dada por $t_{\alpha/2;\,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ . Com $n = 64$ , $\sqrt{n} = 8$ , e o quantil informado é $t = 2$ (pois $P(|T| > 2) = 0,05$ para 63 graus de liberdade). Assim:
$2 \cdot \frac{s}{8} = 0,5 \Rightarrow \frac{s}{4} = 0,5 \Rightarrow s = 2$

Portanto, a média amostral é 11 e o desvio padrão amostral é 2, exatamente como afirma o item.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o quantil da distribuição t pelo da normal padrão. O candidato que usa $z = 1,96$ em vez de $t = 2$ encontraria $s \approx 2,04$ , o que não bate com o gabarito. O enunciado já fornece o quantil correto: $P(|T| > 2) = 0,05$ significa que o valor crítico bilateral é exatamente 2. Fique atento: quando a variância é desconhecida, o intervalo usa t de Student, e o quantil é dado no enunciado — não invente outro valor.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — CESPE / CEBRASPE 2024

Intervalo de confiança e teste de hipóteses com variância desconhecida

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO