A fim de testar a hipótese nula µ ≥ 10 contra a hipótese
alternativa µ < 10, em que µ denota a média populacional,
um analista extraiu uma amostra aleatória de tamanho n = 64,
obtendo o seguinte intervalo (simétrico) de 95% de confiança
para µ: [10,5; 11,5]. No caso deste intervalo de confiança, a
variância populacional é desconhecida.
Com base nas informações precedentes e considerando que P(|T| > 2) = 0,05, em que T denota a distribuição t de Student com 63 graus de liberdade, julgue o item a seguir.No teste de hipóteses em questão, se o erro do tipo I for limitado a 5%, então o erro do tipo II também estará limitado a esse mesmo percentual.
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GabaritoE — Errado
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Erros tipo I e tipo II em testes de hipóteses
Gabarito: letra E (ERRADO). O erro do tipo I (α) e o erro do tipo II (β) são probabilidades independentes, controladas por mecanismos distintos: α é fixado pelo analista (nível de significância), enquanto β depende do tamanho da amostra, do valor real do parâmetro e da distância entre a hipótese nula e a alternativa. Não há nenhuma relação matemática que garanta que, se α ≤ 5%, então β ≤ 5%. Na verdade, para uma amostra fixa, reduzir α geralmente aumenta β, pois a região de rejeição fica menor, tornando mais difícil rejeitar H₀ quando ela é falsa.
O erro do tipo I é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. O erro do tipo II é a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. A relação entre eles é de trade-off: para um dado tamanho de amostra, diminuir um tende a aumentar o outro. A única forma de reduzir ambos simultaneamente é aumentar o tamanho da amostra. O enunciado fornece um intervalo de confiança e uma probabilidade da distribuição t, mas esses dados são irrelevantes para a afirmação genérica sobre a relação entre α e β — a afirmação é falsa por princípio, independentemente dos valores numéricos.
A pegadinha da banca é sugerir que, como o erro tipo I está limitado a 5%, o erro tipo II também estaria, como se fossem probabilidades complementares ou equivalentes. Isso é um erro conceitual grave: α e β são probabilidades de eventos diferentes, calculadas sob hipóteses diferentes (H₀ verdadeira para α, H₁ verdadeira para β). Não há soma igual a 1 nem qualquer vínculo direto entre seus valores.
Caso
α (erro tipo I)
β (erro tipo II)
Relação entre α e β
Conclusão
Caso 1
α ≤ 5%
β > 5% (possível)
Inversamente relacionados (trade-off)
Afirmação falsa
Caso 2
α ≤ 5%
β ≤ 5% (possível)
Inversamente relacionados (trade-off)
Afirmação falsa (não garantida)
Caso 3
α ≤ 5%
β = 5% (possível)
Inversamente relacionados (trade-off)
Afirmação falsa (não garantida)
H₀ verdadeira
H₀ falsa
Rejeita H₀
Erro tipo I (α)
Decisão correta
Não rejeita H₀
Decisão correta
Erro tipo II (β)
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Alternativa C — ❌ Incorreta
A afirmação de que o erro do tipo II estaria limitado a 5% é falsa. O erro do tipo II (β) é a probabilidade de não rejeitar H₀ quando H₁ é verdadeira. Seu valor depende de fatores como o tamanho da amostra (n), a variabilidade dos dados e o quão distante o valor real do parâmetro está do valor hipotetizado. Não há garantia de que β seja menor ou igual a α. Na prática, para um teste com n = 64 e α = 5%, o valor de β pode ser muito maior que 5%, especialmente se o efeito real for pequeno. A relação correta é que, para um n fixo, α e β são inversamente relacionados: diminuir α aumenta β.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A afirmação está errada, e por isso a alternativa E é o gabarito. O erro do tipo II não está limitado pelo erro do tipo I. Eles são probabilidades independentes, controladas por mecanismos distintos: α é fixado pelo analista (nível de significância), enquanto β depende do tamanho da amostra, do valor real do parâmetro e da distância entre a hipótese nula e a alternativa. Não há nenhuma relação matemática que garanta que, se α ≤ 5%, então β ≤ 5%. Na verdade, para uma amostra fixa, reduzir α geralmente aumenta β, pois a região de rejeição fica menor, tornando mais difícil rejeitar H₀ quando ela é falsa.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre os dois erros. O candidato pode pensar que, como α = 5%, β também seria 5%, como se fossem complementares. Mas α é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é verdadeira, e β é a probabilidade de não rejeitar H₀ quando ela é falsa. São eventos mutuamente exclusivos e não relacionados diretamente. Para um n fixo, α e β são inversamente proporcionais: diminuir um aumenta o outro. A única forma de reduzir ambos é aumentar o tamanho da amostra. Lembre-se: α é controlado pelo analista, β é consequência do desenho do teste.