Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade: distribuição binomial

Gabarito: letra E. A probabilidade de aprovação com ressalvas é a soma das probabilidades de exatamente 1 fraude e exatamente 2 fraudes em 10 contratos, com probabilidade de fraude $p = 0{,}02$ por contrato. Pela distribuição binomial, isso é $P(X=1) + P(X=2) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98^9 + \binom{10}{2} \cdot 0{,}02^2 \cdot 0{,}98^8 = 10 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98^9 + 45 \cdot 0{,}02^2 \cdot 0{,}98^8$ — exatamente a alternativa E.

A situação descrita é um experimento de Bernoulli repetido 10 vezes, com dois resultados possíveis em cada contrato: fraude (sucesso, com probabilidade $p = 0{,}02$) ou ausência de fraude (fracasso, com probabilidade $1 - p = 0{,}98$). Como os contratos são independentes, o número de fraudes $X$ segue uma distribuição binomial com parâmetros $n = 10$ e $p = 0{,}02$.

A fórmula geral da binomial é:

onde $\binom{n}{k}$ é o número de combinações de $n$ elementos tomados $k$ a $k$, que conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais contratos terão fraude.

A aprovação com ressalvas ocorre quando há fraude em até dois contratos, ou seja, em 1 ou 2 contratos (0 fraudes daria aprovação sem ressalvas, e mais de 2 daria reprovação). Portanto, precisamos calcular:

Calculando cada termo:

• Para $k=1$: $\binom{10}{1} = 10$, então $P(X=1) = 10 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98^9$

• Para $k=2$: $\binom{10}{2} = 45$, então $P(X=2) = 45 \cdot 0{,}02^2 \cdot 0{,}98^8$

Somando, obtemos a expressão da alternativa E.

A pegadinha clássica aqui é esquecer o coeficiente binomial (as combinações) ou somar apenas um dos casos. A alternativa C, por exemplo, considera apenas o caso de exatamente 2 fraudes, mas esquece o caso de exatamente 1 fraude. A alternativa B também considera apenas 2 fraudes, mas sem o coeficiente 45. A alternativa D soma os dois casos, mas sem os coeficientes binomiais. A alternativa A calcula a probabilidade de pelo menos uma fraude, que não corresponde ao evento pedido.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$1 - 0{,}98^{10}$ é a probabilidade de pelo menos uma fraude (complementar de nenhuma fraude). Isso inclui 1, 2, 3, ... até 10 fraudes, enquanto a aprovação com ressalvas exige exatamente 1 ou 2 fraudes. Portanto, está incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$0{,}02^2 \times 0{,}98^8$ é a probabilidade de uma sequência específica com exatamente 2 fraudes e 8 sem fraude (por exemplo, os dois primeiros contratos com fraude e os demais sem). Mas não considera as $\binom{10}{2} = 45$ maneiras diferentes de escolher quais 2 contratos têm fraude. Além disso, ignora o caso de exatamente 1 fraude. Incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$45 \times 0{,}02^2 \times 0{,}98^8$ é exatamente $P(X=2)$, a probabilidade de exatamente 2 fraudes. Mas a aprovação com ressalvas também ocorre com exatamente 1 fraude. Falta o termo $10 \times 0{,}02 \times 0{,}98^9$. Incorreta por estar incompleta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$0{,}02 \times 0{,}98^9 + 0{,}02^2 \times 0{,}98^8$ soma as probabilidades de exatamente 1 e exatamente 2 fraudes, mas sem os coeficientes binomiais. Isso corresponderia a sequências específicas, não a todas as combinações possíveis. Incorreta.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$10 \times 0{,}02 \times 0{,}98^9 + 45 \times 0{,}02^2 \times 0{,}98^8$ é exatamente $P(X=1) + P(X=2)$, com os coeficientes binomiais $\binom{10}{1}=10$ e $\binom{10}{2}=45$. É a aplicação correta da distribuição binomial para o evento "fraude em até dois contratos" (excluindo zero fraudes).

Gabarito: letra E