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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — CESPE / CEBRASPE 2024

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
ce189010
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TCE-PR
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Auditor de Controle Externo – Área: Contábil
Uma dívida de R$ 90.000 deve ser liquidada em quatro pagamentos semestrais consecutivos, respectivamente, de R$ 25.000, R$ 35.000, R$ 30.000, R$ 20.000. A primeira parcela será quitada no momento de assinatura do contrato.Com base nessas informações, assinale a opção que corresponde à equação polinomial cuja raiz fornece a taxa interna de retorno i correspondente à situação apresentada.
  1. A14(1 + i)³ - 5(1 + i)² - 6(1 + i) = 7
  2. B18(1 + i)³ - 7(1 + i)² - 6(1 + i) = 4
  3. C13(1 + i)³ - 7(1 + i)² - 6(1 + i) = 4
  4. D18(1 + i)⁴ - 5(1 + i)³ - 7(1 + i)²- 6(1 + i) = 4
  5. E18(1 + i)⁴ - 4(1 + i)³ - 5(1 + i)²- 6(1 + i) = 4
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GabaritoC — 13(1 + i)³ - 7(1 + i)² - 6(1 + i) = 4

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Taxa Interna de Retorno (TIR) – Equação Polinomial

Gabarito: letra C. A equação polinomial correta é (13(1+i)^3 - 7(1+i)^2 - 6(1+i) = 4), obtida igualando o valor presente dos pagamentos ao valor da dívida e simplificando por 5.000.

A TIR é a taxa que torna o valor presente líquido (VPL) igual a zero. Nesta questão, temos um fluxo de caixa com 4 pagamentos semestrais: R$ 25.000 no ato (tempo 0), R$ 35.000 (tempo 1), R$ 30.000 (tempo 2) e R$ 20.000 (tempo 3), e uma dívida de R$ 90.000 no tempo 0.

A equação de valor presente é:

90.000=25.000+35.000(1+i)+30.000(1+i)2+20.000(1+i)390.000 = 25.000 + \frac{35.000}{(1+i)} + \frac{30.000}{(1+i)^2} + \frac{20.000}{(1+i)^3}

Multiplicando tudo por ((1+i)^3) para eliminar denominadores:

90.000(1+i)3=25.000(1+i)3+35.000(1+i)2+30.000(1+i)+20.00090.000 (1+i)^3 = 25.000 (1+i)^3 + 35.000 (1+i)^2 + 30.000 (1+i) + 20.000

Rearranjando:

(25.000−90.000)(1+i)3+35.000(1+i)2+30.000(1+i)+20.000=0(25.000 - 90.000)(1+i)^3 + 35.000 (1+i)^2 + 30.000 (1+i) + 20.000 = 0
−65.000(1+i)3+35.000(1+i)2+30.000(1+i)+20.000=0-65.000 (1+i)^3 + 35.000 (1+i)^2 + 30.000 (1+i) + 20.000 = 0

Dividindo por -5.000 para simplificar:

13(1+i)3−7(1+i)2−6(1+i)−4=013 (1+i)^3 - 7 (1+i)^2 - 6 (1+i) - 4 = 0

Ou seja:

13(1+i)3−7(1+i)2−6(1+i)=413 (1+i)^3 - 7 (1+i)^2 - 6 (1+i) = 4

Que é exatamente a alternativa C.

  1. 1Fluxo de caixa
  2. 2Dívida e 1ª parcelat=0: -90.000 + 25.000
  3. 32ª parcelat=1: +35.000
  4. 43ª parcelat=2: +30.000
  5. 54ª parcelat=3: +20.000
  6. 6Equação do VPL = 0
  7. 7Valor presente90.000 = 25.000 + 35.000/(1+i) + 30.000/(1+i)² + 20.000/(1+i)³
  8. 8Multiplicar por (1+i)³
  9. 9Eliminar denominadores90.000(1+i)³ = 25.000(1+i)³ + 35.000(1+i)² + 30.000(1+i) + 20.000
  10. 10Simplificar
  11. 11Dividir por 5.000 e isolar13(1+i)³ - 7(1+i)² - 6(1+i) = 4
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Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta coeficiente 14 no termo cúbico e constante 5 no termo quadrático, além de constante igual a 7. Não corresponde à simplificação correta (13, 7, 6, 4).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Erra o coeficiente cúbico: 18 em vez de 13.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, é a equação derivada corretamente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta equação de grau 4 (termo ((1+i)^4)), mas o fluxo de caixa tem apenas 3 períodos futuros após o pagamento inicial, resultando em grau 3. Além disso, os coeficientes (18, 5, 7, 6, 4) não correspondem à simplificação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Também de grau 4, com coeficientes (18, 4, 5, 6, 4) diferentes dos corretos.

PEGA ESSA DICA!

Ao montar a equação da TIR, lembre-se de que um pagamento no ato não gera termo no denominador. Portanto, o grau máximo do polinômio é igual ao número de parcelas futuras. Neste caso, 3 parcelas futuras → equação cúbica. Divida todos os coeficientes pelo maior divisor comum (5.000) para simplificar. Confira sempre se a constante isolada corresponde ao valor presente líquido igual a zero.

Gabarito: letra C

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