Matemática Financeira · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce189015

Juros Compostos – Cálculo do Período

Gabarito: letra B. Para que um capital de R$ 100.000,00 atinja R$ 220.000,00 a uma taxa de 10% ao ano, o tempo necessário em anos é dado por $n = \frac{\log(2,2)}{\log(1,1)}$ (logaritmo em qualquer base). A alternativa B (conforme figura) apresenta a expressão logarítmica correta, enquanto as demais alternativas trazem valores numéricos ou logaritmo com base trocada que não correspondem ao tempo real. A fórmula dos juros compostos é: $M = C \times (1 + i)^n$ Substituindo os valores: $220.000 = 100.000 \times (1,10)^n$ [2,2 = 1,1^n] $n = \log_{1,1} 2,2 = \frac{\ln 2,2}{\ln 1,1} = \frac{\log 2,2}{\log 1,1}$ Calculando: $\log 2,2 \approx 0,3424$ e $\log 1,1 \approx 0,0414$ , logo $n \approx 8,27$ anos. Nenhum valor inteiro ou decimal simples (2 ou 2,2) resolve a equação; a resposta correta é a expressão logarítmica.

NÃO CAIA NESSA!

Muitos candidatos, ao verem que o capital de R$ 100.000,00 precisaria dobrar para R$ 200.000,00 em 2 anos (juros de 10% ao ano: 100.000 → 110.000 → 121.000), pensam erroneamente que para R$ 220.000 bastariam 2,2 anos, esquecendo que o crescimento é exponencial. O tempo real é de aproximadamente 8,27 anos.

1Fórmula: M = C × (1+i)^n
2Substituir: 220.000 = 100.000 × 1,1^n
3Isolar: 2,2 = 1,1^n
4Aplicar log: n = log(2,2)/log(1,1)
5Resultado: n ≈ 8,27 anos

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Alternativa A — ❌ Incorreta

A figura apresentada na alternativa A não corresponde à expressão logarítmica correta. Provavelmente mostra um cálculo linear ou outra expressão que não resolve a equação (1,1^n = 2,2).

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A figura na alternativa B exibe a expressão $n = \frac{\log 2,2}{\log 1,1}$ (ou equivalente com logaritmo natural), que é a solução exata para o problema. Essa expressão é a única que, aplicada, fornece o tempo correto de aproximadamente 8,27 anos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o tempo é de 2 anos. Aplicando a fórmula: $100.000 \times (1,1)^2 = 121.000$ , muito abaixo do montante desejado. O erro é confundir crescimento linear com exponencial.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o tempo é de 2,2 anos. Cálculo: $100.000 \times (1,1)^{2,2} \approx 123.299$ , ainda longe de R$ 220.000. O valor 2,2 é um distrator que surge ao dividir 220.000 por 100.000 (2,2) e ignorar a exponenciação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta (\log_{10}(2,2)) anos. Isso equivale a aproximadamente 0,342 anos, um valor absurdo para o problema. O erro é usar logaritmo decimal em vez de logaritmo na base 1,1. A base do logaritmo deve ser (1+i), não 10.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de juros compostos, para isolar o expoente, aplique logaritmo dos dois lados: $n = \frac{\log(M/C)}{\log(1+i)}$ . Lembre-se de que a base do logaritmo pode ser qualquer uma (decimal, natural), desde que seja a mesma no numerador e no denominador. Treine esse tipo de questão até automatizar o uso da fórmula.

Gabarito: letra B.