Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática Financeira›Conceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
ce189015
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TCE-PR
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Auditor de Controle Externo – Área: Contábil
Caso seja investida uma quantia de R$ 100.000 em uma aplicação que rende 10% de juros compostos ao ano, o investimento atingirá o valor de R$ 220.000 em exatos
A
B
C2 anos.
D2,2 anos.
Elog₁₀(2,2) anos.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoB — [imagem]
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Juros Compostos – Cálculo do Período
Gabarito: letra B. Para que um capital de R$ 100.000,00 atinja R$ 220.000,00 a uma taxa de 10% ao ano, o tempo necessário em anos é dado por (n = \frac{\log(2,2)}{\log(1,1)}) (logaritmo em qualquer base). A alternativa B (conforme figura) apresenta a expressão logarítmica correta, enquanto as demais alternativas trazem valores numéricos ou logaritmo com base trocada que não correspondem ao tempo real.
A fórmula dos juros compostos é: [M = C \times (1 + i)^n] Substituindo os valores: [220.000 = 100.000 \times (1,10)^n] [2,2 = 1,1^n] [n = \log_{1,1} 2,2 = \frac{\ln 2,2}{\ln 1,1} = \frac{\log 2,2}{\log 1,1}] Calculando: (\log 2,2 \approx 0,3424) e (\log 1,1 \approx 0,0414), logo (n \approx 8,27) anos. Nenhum valor inteiro ou decimal simples (2 ou 2,2) resolve a equação; a resposta correta é a expressão logarítmica.
NÃO CAIA NESSA!
Muitos candidatos, ao verem que o capital de R$ 100.000,00 precisaria dobrar para R$ 200.000,00 em 2 anos (juros de 10% ao ano: 100.000 → 110.000 → 121.000), pensam erroneamente que para R$ 220.000 bastariam 2,2 anos, esquecendo que o crescimento é exponencial. O tempo real é de aproximadamente 8,27 anos.
1Fórmula: M = C × (1+i)^n
2Substituir: 220.000 = 100.000 × 1,1^n
3Isolar: 2,2 = 1,1^n
4Aplicar log: n = log(2,2)/log(1,1)
5Resultado: n ≈ 8,27 anos
LEVEL · soulevel.com.br
Alternativa A — ❌ Incorreta
A figura apresentada na alternativa A não corresponde à expressão logarítmica correta. Provavelmente mostra um cálculo linear ou outra expressão que não resolve a equação (1,1^n = 2,2).
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A figura na alternativa B exibe a expressão (n = \frac{\log 2,2}{\log 1,1}) (ou equivalente com logaritmo natural), que é a solução exata para o problema. Essa expressão é a única que, aplicada, fornece o tempo correto de aproximadamente 8,27 anos.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que o tempo é de 2 anos. Aplicando a fórmula: (100.000 \times (1,1)^2 = 121.000), muito abaixo do montante desejado. O erro é confundir crescimento linear com exponencial.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que o tempo é de 2,2 anos. Cálculo: (100.000 \times (1,1)^{2,2} \approx 123.299), ainda longe de R$ 220.000. O valor 2,2 é um distrator que surge ao dividir 220.000 por 100.000 (2,2) e ignorar a exponenciação.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Apresenta (\log_{10}(2,2)) anos. Isso equivale a aproximadamente 0,342 anos, um valor absurdo para o problema. O erro é usar logaritmo decimal em vez de logaritmo na base 1,1. A base do logaritmo deve ser (1+i), não 10.
PEGA ESSA DICA!
Em problemas de juros compostos, para isolar o expoente, aplique logaritmo dos dois lados: (n = \frac{\log(M/C)}{\log(1+i)}). Lembre-se de que a base do logaritmo pode ser qualquer uma (decimal, natural), desde que seja a mesma no numerador e no denominador. Treine esse tipo de questão até automatizar o uso da fórmula.
