Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Desvio padrão da diferença de variáveis aleatórias independentes

Gabarito: letra C. O desvio padrão de $Y - X$, com $X$ e $Y$ independentes, é dado por $\sqrt{\text{Var}(Y) + \text{Var}(X)}$. Para a distribuição binomial, a variância é $n \cdot p \cdot (1-p)$. Assim, $\text{Var}(X) = 10 \cdot 0,25 \cdot 0,75 = 1,875$ e $\text{Var}(Y) = 17 \cdot 0,75 \cdot 0,25 = 3,1875$. Somando: $1,875 + 3,1875 = 5,0625 = \frac{81}{16}$. A raiz quadrada de $\frac{81}{16}$ é $\frac{9}{4} = \frac{36}{16}$, que corresponde à alternativa C.

A questão cobra dois conceitos centrais de probabilidade e estatística: a variância de uma variável com distribuição binomial e a propriedade da variância da soma (ou diferença) de variáveis independentes. Vamos revisá-los com calma, porque é exatamente a combinação desses dois pontos que resolve o problema.

1. Variância da distribuição binomial

Uma variável aleatória $X$ com distribuição binomial de parâmetros $n$ (número de tentativas) e $p$ (probabilidade de sucesso em cada tentativa) tem:

• Média: $E[X] = n \cdot p$

• Variância: $\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$

Essa fórmula é clássica e aparece em qualquer material de estatística básica. Ela decorre do fato de a binomial ser a soma de $n$ variáveis de Bernoulli independentes, cada uma com variância $p(1-p)$.

2. Variância da diferença de variáveis independentes

Para duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ independentes, a variância da diferença é a soma das variâncias:

Isso é uma propriedade fundamental: a variância não é linear no sentido de subtrair; ela sempre soma as variâncias quando as variáveis são independentes. O sinal negativo na diferença não afeta a variância, pois a variância de $-X$ é igual à variância de $X$.

3. Aplicando ao problema

Temos:

• $X \sim \text{Binomial}(n=10, p=0,25)$

• $Y \sim \text{Binomial}(n=17, p=0,75)$

Calculando as variâncias:

• $\text{Var}(X) = 10 \cdot 0,25 \cdot 0,75 = 1,875$

• $\text{Var}(Y) = 17 \cdot 0,75 \cdot 0,25 = 3,1875$

Somando:

Convertendo para fração: $5,0625 = \frac{81}{16}$.

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{18}{16}$ é a metade do valor correto. Provavelmente o candidato esqueceu de somar as variâncias e calculou apenas a diferença das variâncias (ou usou a média em vez da variância). Lembre-se: para variáveis independentes, a variância da diferença é a soma das variâncias, nunca a subtração.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{21}{16}$ não corresponde a nenhum cálculo direto. Pode ter surgido de um erro ao calcular as variâncias (por exemplo, usar $p$ em vez de $p(1-p)$) ou de uma soma incorreta. Não há fundamento estatístico para esse número.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o desvio padrão de $Y - X$ é $\frac{36}{16}$. A alternativa está correta porque aplica corretamente a fórmula da variância da binomial e a propriedade da soma das variâncias para variáveis independentes.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{41}{16}$ é próximo do correto, mas não exato. Pode ter surgido de um erro de arredondamento ou de um cálculo incorreto da variância de $Y$ (por exemplo, usar $17 \cdot 0,75 \cdot 0,25 = 3,1875$ e depois errar na soma). A pegadinha aqui é a proximidade com o valor correto, induzindo o candidato a marcar sem conferir os cálculos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{81}{16}$ é a variância de $Y - X$, não o desvio padrão. O candidato que esquece de extrair a raiz quadrada marca esta alternativa. É a pegadinha clássica: a banca apresenta a variância como distrator, pois ela é um número "redondo" e fácil de obter.

Gabarito: letra C