Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2024

Regressão linear: estimação de y a partir de x

Gabarito: letra E (ERRADO). A reta de regressão de y sobre x, obtida pelo método dos mínimos quadrados, modela a relação entre a variável dependente y e a variável explicativa x, permitindo estimar y para determinados valores de x — e não o contrário. Para estimar x a partir de y, seria necessário ajustar uma reta de regressão de x sobre y, invertendo os papéis das variáveis.

A confusão central aqui é a direção da regressão. No modelo de regressão linear simples, escrevemos $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$, em que $Y$ é a variável resposta (dependente) e $X$ é a variável regressora (independente). O método dos mínimos quadrados minimiza a soma dos quadrados dos resíduos na direção vertical (em relação a $Y$), ou seja, ajusta a reta que melhor explica $Y$ em função de $X$. Portanto, a equação ajustada $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$ serve para predizer $Y$ dado um valor de $X$.

Se quisermos estimar $X$ a partir de $Y$, precisaríamos de outra reta: a regressão de $X$ sobre $Y$, na forma $X = \alpha_0 + \alpha_1 Y + \varepsilon'$. Essa reta não é obtida simplesmente invertendo algebricamente a primeira — ela é um ajuste distinto, que minimiza os resíduos na direção horizontal. A banca explora exatamente essa inversão: o candidato que lê rápido pode achar que a reta de regressão é simétrica, mas ela não é.

Alternativa E — ❌ Errado ⟵ GABARITO

A afirmação está errada porque inverte o sentido da regressão. A reta de regressão de y sobre x é construída para estimar y (a variável dependente) a partir de x (a variável independente). O modelo é $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$, e a reta ajustada $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$ fornece o valor esperado de $Y$ para cada valor de $X$. Para estimar $x$ a partir de $y$, seria preciso ajustar a regressão de x sobre y, o que não é o que a afirmação descreve.

Gabarito: letra E (ERRADO).