Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce190025

Correlação e regressão linear perfeitas

✅ CERTO. Quando todos os pontos amostrais estão exatamente sobre uma reta, a relação linear entre as variáveis é perfeita: o coeficiente de correlação de Pearson é igual a 1 (ou -1, se a inclinação for negativa) e o coeficiente de determinação $R^2$ é igual a 1, indicando que 100% da variabilidade de Y é explicada pelo modelo linear. Essa é a definição de ajuste perfeito no contexto de regressão linear.

A afirmação do item está correta e reflete um conceito fundamental de estatística descritiva e de modelos lineares. Vamos entender por que.

O que é correlação perfeita?

A correlação linear mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. O coeficiente de correlação de Pearson, denotado por $r$ , varia entre -1 e 1. Quando $r = 1$ , há uma correlação linear perfeita positiva (todos os pontos sobre uma reta crescente); quando $r = -1$ , há correlação linear perfeita negativa (todos os pontos sobre uma reta decrescente). Em ambos os casos, os pontos estão perfeitamente alinhados em uma reta.

O que é regressão linear perfeita?

Na regressão linear, o objetivo é ajustar uma reta da forma $Y = a + bX + \varepsilon$ aos dados. O coeficiente de determinação $R^2$ mede a proporção da variabilidade total de Y que é explicada pelo modelo. Ele é calculado como:

R^2 = \frac{SQM}{SQT} = 1 - \frac{SQE}{SQT}

em que $SQM$ é a soma dos quadrados do modelo (regressão), $SQE$ é a soma dos quadrados dos resíduos (erros) e $SQT$ é a soma dos quadrados total. Quando todos os pontos estão sobre a reta ajustada, os resíduos são todos nulos, logo $SQE = 0$ e, portanto, $R^2 = 1$ . Isso caracteriza a regressão linear perfeita.

Relação entre correlação e regressão

O coeficiente de correlação $r$ e o coeficiente de determinação $R^2$ estão diretamente relacionados: $R^2 = r^2$ . Assim, se $r = 1$ ou $r = -1$ , então $R^2 = 1$ , e vice-versa. Portanto, a condição de todos os pontos sobre uma reta implica simultaneamente correlação perfeita e regressão perfeita.

A pegadinha

A banca pode tentar confundir o candidato com a ideia de que correlação perfeita exige que a reta seja crescente, mas não: a correlação perfeita pode ser positiva ou negativa, desde que os pontos estejam alinhados. Outra pegadinha comum é achar que correlação alta (próxima de 1) é o mesmo que correlação perfeita (exatamente 1). Apenas quando $|r| = 1$ os pontos estão todos sobre uma reta.

1Resíduos nulos (SQE = 0)
2R² = 1 (100% explicado)
3|r| = 1 (correlação perfeita)

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NÃO CAIA NESSA!

A banca pode trocar "correlação perfeita" por "correlação forte" (por exemplo, $r = 0,9$ ). Correlação forte não implica que todos os pontos estejam sobre a reta; apenas indica uma relação linear razoavelmente forte, mas com dispersão. A perfeição exige $|r| = 1$ e $R^2 = 1$ , o que só ocorre com todos os pontos alinhados.

✅ CERTO.

Gabarito: letra C.