Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2024

Intervalos de confiança e quantis

Gabarito: letra E (ERRADO). O intervalo de confiança para um estimador $T_n$ tem a forma $T_n \pm q \times EP(T_n)$, em que $q$ é um quantil da distribuição amostral de $T_n$ (ou de uma distribuição relacionada, como a normal padrão ou a $t$ de Student), e não um quantil da população $X$. O erro padrão $EP(T_n) = \sqrt{Var(T_n)}$ mede a variabilidade do estimador, não a dispersão dos dados populacionais.

A afirmação do item confunde dois conceitos distintos: o quantil da população $X$ (que descreve a distribuição dos dados, como o percentil 95 da variável original) e o quantil usado na construção do intervalo de confiança (que depende da distribuição amostral do estimador). Por exemplo, para a média amostral $\bar{X}$ com variância conhecida, o intervalo é $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, em que $z_{\alpha/2}$ é o quantil da normal padrão — não da população. Se a variância é desconhecida, usa-se o quantil da distribuição $t$ de Student com $n-1$ graus de liberdade. Em ambos os casos, o quantil provém da distribuição amostral, não da população.

A pegadinha está em trocar a distribuição de referência: o quantil que multiplica o erro padrão é sempre relativo à distribuição amostral do estimador (ou à distribuição assintótica), nunca à distribuição da variável $X$ na população. Essa distinção é essencial para a construção correta de intervalos de confiança.

Item — ❌ ERRADO

O item afirma que o intervalo de confiança segue a forma $T_n \pm q \times D$, em que $q$ é um quantil da população $X$. Isso está errado por dois motivos:

1. O quantil $q$ deve ser da distribuição amostral de $T_n$ (ou de uma distribuição relacionada, como a normal padrão ou a $t$ de Student), não da população $X$. A distribuição amostral de $T_n$ descreve o comportamento do estimador ao longo de todas as amostras possíveis, e é dela que se extrai o quantil que garante o nível de confiança desejado.

2. A notação $D$ representa o desvio padrão de $T_n$ (erro padrão), que é a raiz quadrada da variância $Var(T_n)$. O erro padrão mede a precisão do estimador, não a dispersão dos dados populacionais. A forma correta é $T_n \pm q \times EP(T_n)$, com $EP(T_n) = \sqrt{Var(T_n)}$.

Portanto, a afirmação está incorreta ao atribuir o quantil à população $X$ em vez da distribuição amostral do estimador.

Gabarito: letra E (ERRADO).