Uma amostra aleatória simples de tamanho n > 1 é retirada de uma distribuição exponencial com média µ; tal amostra é representada pelo conjunto {W₁,…, Wn} constituído por n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Tendo como referência as informações precedentes, julgue o próximo item. A moda amostral é um estimador para a média µ.
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GabaritoE — Errado
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Moda amostral como estimador da média na distribuição exponencial
Gabarito: letra E (ERRADO). A moda amostral não é um estimador adequado para a média µ de uma distribuição exponencial, pois, embora seja uma estatística (função da amostra), ela não possui as propriedades desejáveis de um estimador — como não viés e consistência — para esse parâmetro. O estimador natural e eficiente da média µ é a média amostral, que é não viesada e consistente.
Na distribuição exponencial, a média µ é igual ao desvio padrão e também é o parâmetro de escala. A moda populacional da exponencial é sempre 0 (para qualquer µ > 0), o que já indica que a moda não carrega informação sobre µ. A moda amostral, por sua vez, é o valor que mais se repete na amostra; em uma distribuição contínua, a probabilidade de haver repetições exatas é zero, de modo que a moda amostral é mal definida ou arbitrária — não converge para µ e não é um estimador consistente.
A questão explora a confusão entre medidas de tendência central: média, mediana e moda. Na exponencial, a mediana é µ·ln(2), a moda é 0, e a média é µ. Apenas a média amostral é um estimador não viesado de µ. A moda amostral não é utilizada como estimador de µ em nenhum contexto, e a banca espera que o candidato reconheça essa inadequação.
Estimadores para média exponencial — só Estimadores: moda amostral; só Adequados: média amostral; Estimadores∩Adequados: estatísticas
Alternativa E — ❌ Incorreta (gabarito)
A afirmação de que a moda amostral é um estimador para a média µ está errada. A moda amostral é uma estatística, mas não é um estimador adequado para µ na distribuição exponencial. O estimador correto é a média amostral, que é não viesada e consistente. A moda amostral, em uma distribuição contínua, tende a não existir de forma única e não converge para µ, portanto não atende às propriedades de um bom estimador.