Considere uma amostra aleatória de tamanho n de variáveis aleatórias contínuas, Xi, independentes e identicamente distribuídas, com média µ e variância V finitas e desconhecidas. Considere, ainda, Mx e S² como a média e a variância amostral, respectivamente. Considere, por fim, que Yi = I(Xi < b), com b fixo, em que a função I será igual a 1 se a condição do argumento for verdadeira e igual a 0, se for falsa. Tendo como referência as informações apresentadas, julgue o item que se segue. Se a distribuição das variáveis aleatórias X for desconhecida, então a distribuição da média amostral será normal com média µ e variância V / n.
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GabaritoE — Errado
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Teorema Central do Limite e distribuição da média amostral
❌ ERRADO. A afirmação de que, com distribuição desconhecida, a média amostral será exatamente normal com média μ e variância V/n está incorreta. O Teorema Central do Limite (TCL) garante apenas que a distribuição da média amostral aproxima-se da normal quando o tamanho da amostra é suficientemente grande — não que ela seja exatamente normal para qualquer n. Para normalidade exata, seria necessário que a população já fosse normal ou que n fosse infinito.
O TCL é um dos resultados mais importantes da estatística: para uma amostra aleatória de variáveis i.i.d. com média μ e variância V finitas, a média amostral padronizada converge em distribuição para a normal padrão. Em termos práticos, para n grande, a distribuição de é aproximadamente . Mas a palavra-chave é aproximadamente — a convergência é assintótica, não exata para amostras finitas.
A pegadinha da banca está em trocar a convergência assintótica por uma igualdade exata. O enunciado diz "será normal" — isso só seria verdade se a população fosse normal (então a média amostral seria exatamente normal para qualquer n) ou se n tendesse ao infinito. Como a distribuição é desconhecida e n é finito, a afirmação é falsa.
Condição
Distribuição de X
Tamanho da amostra (n)
Distribuição da média amostral (X̄)
Afirmação "será normal"
População normal
Normal
Qualquer n finito
Exatamente N(μ, V/n)
Verdadeira
População desconhecida
Não normal (ou desconhecida)
n finito
Aproximadamente N(μ, V/n) (pelo TCL)
Falsa
População desconhecida
Não normal (ou desconhecida)
n → ∞
Exatamente N(μ, V/n) (limite)
Verdadeira (apenas no limite)
Alternativa E — ❌ Incorreta (gabarito)
A alternativa afirma que a distribuição da média amostral será normal com média μ e variância V/n. O erro está na palavra "será": o TCL estabelece que, para n suficientemente grande, a distribuição da média amostral aproxima-se da normal — não que ela seja exatamente normal. A normalidade exata só ocorre se a população for normal (ou se n for infinito). Como a distribuição de X é desconhecida e n é finito, a afirmação é falsa.
NÃO CAIA NESSA!
A banca troca a convergência assintótica (aproximação para n grande) por uma igualdade exata ("será normal"). O candidato que conhece o TCL mas não presta atenção na palavra "será" marca CERTO — mas o TCL só garante aproximação, não normalidade exata. Fique atento: se o enunciado diz "será normal" sem mencionar "aproximadamente" ou "para n grande", a afirmação é falsa.
PEGA ESSA DICA!
Na prova, desconfie de afirmações categóricas com "será", "sempre", "exatamente" quando o tema é TCL. O TCL é um resultado de convergência — a normalidade é aproximada e assintótica. Se a questão não disser que a população é normal ou que n é grande, a afirmação de normalidade exata é falsa.