Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce190049

EstatísticaPrincipais distribuições de probabilidade

Código: ce190049
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: TSE
Ano: 2024
Nível: Superior

Cargo: Analista Judiciário – Área: Apoio Especializado – Especialidade: Estatística

Considere uma amostra aleatória de tamanho n de variáveis aleatórias contínuas, Xi, independentes e identicamente distribuídas, com média µ e variância V finitas e desconhecidas. Considere, ainda, Mx e S² como a média e a variância amostral, respectivamente. Considere, por fim, que Yi = I(Xi < b), com b fixo, em que a função I será igual a 1 se a condição do argumento for verdadeira e igual a 0, se for falsa. Tendo como referência as informações apresentadas, julgue o item que se segue. Se a distribuição das variáveis aleatórias X for normal, então a distribuição amostral de (n − 1)(S²/V) seguirá uma distribuição qui-quadrado com n − 1 graus de liberdade.

CCerto
EErrado

Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Distribuição amostral da variância: qui-quadrado

✅ CERTO. Se a população é normal, a estatística $(n-1)\frac{S^2}{V}$ segue exatamente uma distribuição qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade. Esse é um resultado clássico da inferência estatística: a variância amostral, multiplicada por $(n-1)$ e dividida pela variância populacional, tem distribuição qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade, desde que a amostra seja aleatória e a população seja normal.

A questão cobra um dos resultados mais importantes da estatística inferencial: a distribuição amostral da variância. Quando a população é normal, a estatística

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}

em que $S^2$ é a variância amostral (com divisor $n-1$ ) e $\sigma^2$ é a variância populacional. Esse resultado é a base para:

construção de intervalos de confiança para a variância populacional;
testes de hipóteses sobre a variância (teste qui-quadrado para variância);
derivação da distribuição t de Student e da distribuição F de Snedecor.

A demonstração usa o fato de que, para uma amostra aleatória de uma população normal, a soma dos desvios quadrados em relação à média amostral, dividida pela variância populacional, segue uma qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade. A perda de um grau de liberdade ocorre porque a média amostral é estimada a partir dos dados, impondo uma restrição linear.

A pegadinha da banca está em confundir essa estatística com a distribuição da média amostral padronizada, que segue normal padrão, ou com a estatística t de Student, que envolve a média amostral e o desvio padrão amostral. Aqui, a estatística envolve apenas a variância, e a distribuição correta é a qui-quadrado.

Condição	Distribuição da população	Estatística	Distribuição amostral
População normal	$(X \sim N(\mu, V))$	$((n-1)\frac{S^2}{V})$	(\chi^2_{n-1})
População não normal	(X) qualquer $com (\mu), (V) finitas$	$((n-1)\frac{S^2}{V})$	Não é qui-quadrado (aproximada, se (n) grande)

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir a estatística da variância com a da média. Lembre-se: para a média, com variância conhecida, usa-se a normal padrão; com variância desconhecida, usa-se a t de Student. Para a variância, a estatística é sempre qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade, desde que a população seja normal.

Gabarito: ✅ CERTO.

Link permanente: /questoes/ce190049

Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Distribuição amostral da variância: qui-quadrado