Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Distribuição Binomial: soma de variáveis indicadoras independentes

✅ CERTO. A soma das variáveis aleatórias $Y_i = I(X_i < b)$, com $X_i$ independentes e identicamente distribuídas, segue uma distribuição binomial com parâmetros $n$ e $p = P(X_i < b)$. Cada $Y_i$ é uma variável de Bernoulli (assume 1 com probabilidade $p$ e 0 com probabilidade $1-p$), e a soma de $n$ Bernoulli independentes com a mesma probabilidade de sucesso é, por definição, uma binomial.

A questão explora a conexão entre a função indicadora e a distribuição binomial. Quando aplicamos a função indicadora a uma variável aleatória contínua, transformamos o problema em um experimento de Bernoulli: ou o evento ocorre (1) ou não ocorre (0). Como as variáveis $X_i$ são independentes, os eventos $\{X_i < b\}$ também são independentes, e a probabilidade de sucesso é constante para todas as observações, pois as $X_i$ são identicamente distribuídas. Assim, a soma $\sum_{i=1}^{n} Y_i$ conta o número de sucessos em $n$ tentativas independentes de Bernoulli, o que caracteriza exatamente a distribuição binomial.

A média e a variância de $Y_i$ são, respectivamente, $p$ e $p(1-p)$. Portanto, a soma tem média $np$ e variância $np(1-p)$, que são os parâmetros da binomial. A distribuição binomial é o modelo probabilístico para o número de sucessos em uma sequência de $n$ experimentos de Bernoulli independentes, todos com a mesma probabilidade de sucesso $p$.

Item — ✅ CERTO

A afirmação está correta. Cada $Y_i$ é uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro $p = P(X_i < b)$, pois assume apenas os valores 0 e 1. Como as $X_i$ são independentes e identicamente distribuídas, as $Y_i$ também são independentes e têm a mesma probabilidade de sucesso $p$. A soma de $n$ variáveis de Bernoulli independentes e identicamente distribuídas segue uma distribuição binomial com parâmetros $n$ e $p$. Isso é uma propriedade fundamental da distribuição binomial: ela modela exatamente o número de sucessos em $n$ tentativas independentes de Bernoulli.

Gabarito: letra C — ✅ CERTO.