Considere quatro eventos, A, B, C e D, com probabilidades conhecidas em um espaço amostral S. Os eventos A e B são independentes entre si, A e C são mutuamente exclusivos e o evento D é o complemento do evento B. O operador P() retorna a probabilidade do seu argumento. A partir dessas informações, julgue o item a seguir.P(A∪D) = P(A) + P(D) − P(A)P(D)
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GabaritoC — Certo
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Probabilidade da União: independência e complementaridade
Gabarito: letra C (CERTO). A igualdade P(A∪D) = P(A) + P(D) − P(A)P(D) é verdadeira porque, sendo D o complemento de B e sendo A e B independentes, conclui-se que A e D também são independentes — e, para eventos independentes, a probabilidade da união é exatamente a soma das probabilidades menos o produto delas. A fonte é a própria definição de independência e a regra geral da união de eventos.
A questão testa dois conceitos centrais de probabilidade: a regra da adição (probabilidade da união) e a independência de eventos. A regra geral da união de dois eventos quaisquer é:
P(A ∪ D) = P(A) + P(D) − P(A ∩ D)
Essa fórmula vale sempre, para quaisquer eventos. O que muda é como calculamos P(A ∩ D):
Se A e D forem independentes, então P(A ∩ D) = P(A) × P(D), e a fórmula da união vira exatamente a expressão do enunciado.
Se A e D forem mutuamente exclusivos, então P(A ∩ D) = 0, e a fórmula vira P(A ∪ D) = P(A) + P(D).
O ponto central da questão é descobrir se A e D são independentes. O enunciado diz que A e B são independentes e que D é o complemento de B. A pergunta é: se A é independente de B, A também é independente do complemento de B? A resposta é sim — e isso é uma propriedade fundamental da independência. Se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de A, então a não-ocorrência de B (que é D) também não afeta a probabilidade de A. Formalmente, se P(A ∩ B) = P(A)P(B), então P(A ∩ D) = P(A)P(D).
A informação de que A e C são mutuamente exclusivos é um distrator: ela não é usada em nenhum momento para avaliar a igualdade, que envolve apenas A e D. A banca a incluiu para testar se o candidato sabe separar as informações relevantes das irrelevantes.
Eventos A e D — só Evento A: P(A)-P(A)P(D); só Evento D: —; Evento A∩Evento D: P(A)P(D)
Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO
A afirmação está correta. Como A e B são independentes, A também é independente de D (o complemento de B). Portanto, P(A ∩ D) = P(A) × P(D). Substituindo na regra geral da união:
que é exatamente a expressão apresentada. A igualdade vale para quaisquer valores de P(A) e P(D), desde que a independência se mantenha — e ela se mantém pela relação entre B e D.
NÃO CAIA NESSA!
A banca coloca a informação de que A e C são mutuamente exclusivos para tentar fazer você aplicar a fórmula da união de eventos mutuamente exclusivos (P(A ∪ C) = P(A) + P(C)) na união de A com D. Mas a união pedida é A ∪ D, não A ∪ C. A relação de exclusividade entre A e C não tem nenhuma influência sobre a relação entre A e D. O que importa é a independência entre A e B, que se transmite ao complemento D. Fique atento: mutuamente exclusivos ≠ independentes, e a fórmula da união muda conforme o caso.