Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce190061

Probabilidade condicional e suficiência de informações

Gabarito: letra C — CERTO. Para calcular $P(A|D)$ , precisamos de $P(A \cap D)$ e $P(D)$ . Como $D$ é o complemento de $B$ , temos $P(D) = 1 - P(B)$ , e $P(A \cap D) = P(A) - P(A \cap B)$ . Como $A$ e $B$ são independentes, $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ . Assim, $P(A|D) = \frac{P(A) - P(A)P(B)}{1 - P(B)}$ , que depende apenas de $P(A)$ e $P(B)$ , ambas conhecidas. Portanto, as informações são suficientes.

A questão testa se o candidato consegue decompor a probabilidade condicional pedida usando as relações fornecidas: independência, mutuamente exclusivos e complemento. A pegadinha está em achar que a relação entre $A$ e $C$ (mutuamente exclusivos) é relevante, mas ela não é usada em nenhum passo do cálculo. Vamos detalhar.

A definição de probabilidade condicional é:

P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)}

Precisamos, então, de duas quantidades: $P(A \cap D)$ e $P(D)$ .

Cálculo de $P(D)$ : Como $D$ é o complemento de $B$ , temos $P(D) = 1 - P(B)$ . Como $P(B)$ é conhecida, $P(D)$ é conhecida.

Cálculo de $P(A \cap D)$ : Podemos escrever $A$ como a união disjunta de $A \cap B$ e $A \cap D$ (pois $B$ e $D$ são complementares). Assim:

P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap D)

Logo,

P(A \cap D) = P(A) - P(A \cap B)

Como $A$ e $B$ são independentes, $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ . Portanto:

P(A \cap D) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)[1 - P(B)]

Substituindo na fórmula da condicional:

P(A|D) = \frac{P(A)[1 - P(B)]}{1 - P(B)} = P(A)

Ou seja, $P(A|D) = P(A)$ , o que faz sentido: como $D$ é o complemento de $B$ e $A$ é independente de $B$ , $A$ também é independente de $D$ (eventos complementares preservam independência). Assim, a condicional se reduz à probabilidade marginal de $A$ , que é conhecida.

A informação sobre $A$ e $C$ serem mutuamente exclusivos é irrelevante para o cálculo de $P(A|D)$ , pois não envolve $C$ em nenhuma etapa. Portanto, as informações fornecidas são suficientes.

Caso	Atribuição	Resultado
Cálculo de P(D)	D = ~B → P(D) = 1 − P(B)	Conhecida
Cálculo de P(A∩D)	A = (A∩B) ∪ (A∩D), disjuntos → P(A∩D) = P(A) − P(A∩B)	Conhecida
Independência A e B	P(A∩B) = P(A)·P(B)	Substituível
Fórmula final	P(A\|D) = [P(A) − P(A)P(B)] / [1 − P(B)] = P(A)	Calculável
Relação A e C	Mutuamente exclusivos (A∩C = ∅)	Irrelevante (distrator)
Suficiência	Todas as quantidades dependem só de P(A) e P(B), conhecidas	Suficiente → CERTO

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(A|D) = P(A)$ , e como $P(A)$ é conhecida, o valor é calculável. A independência entre $A$ e $B$ permite obter $P(A \cap B)$ , e o complemento fornece $P(D)$ . Nenhuma informação adicional é necessária.

Alternativa E — ❌ ERRADO

Afirma que as informações são insuficientes, o que é falso. O erro do candidato que marca esta opção é achar que, por não conhecer a relação entre $A$ e $C$ (ou por não ter $P(A \cap D)$ diretamente), o cálculo seria impossível. Mas a independência entre $A$ e $B$ resolve exatamente essa lacuna, como mostrado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca insere a relação " $A$ e $C$ são mutuamente exclusivos" para induzir o candidato a achar que precisa dessa informação (ou que ela atrapalha). Na verdade, ela é um distrator: o cálculo de $P(A|D)$ só depende de $A$ e $B$ . Fique atento: quando um dado do enunciado não é usado, ele pode ser uma armadilha para você achar que falta algo.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de probabilidade condicional, sempre escreva a fórmula $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ e veja quais termos você consegue obter com as relações dadas (independência, complemento, união). Se conseguir expressar tudo em termos de probabilidades conhecidas, a informação é suficiente. Treine com questões que misturam independência e complemento — é um padrão comum em concursos.

Gabarito: letra C

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade condicional e suficiência de informações

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

Alternativa E — ❌ ERRADO