Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes

Gabarito: Errado (E). A probabilidade de um candidato aprovado ser do tipo que não estuda com afinco e não cola é de 15%, que é inferior a 17,5%. O cálculo envolve aplicar o Teorema de Bayes, pois o enunciado fornece probabilidades condicionais (chance de aprovação dado o comportamento) e pede a probabilidade inversa (comportamento dado que foi aprovado).

Vamos organizar os dados. Seja:

• $E$: estuda com afinco

• $C$: cola na prova

• $A$: aprovado

Das informações:

• $P(E) = 20\% = 0,2$ (VII)

• $P(C) = 10\% = 0,1$ (VIII)

• Se estuda com afinco, não cola (VI), logo $P(C|E) = 0$ e $P(\bar{C}|E) = 1$.

• Se cola, chance de ser pego é 90% (V), e se pego, reprovado (IV). Logo, a chance de aprovação colando é $P(A|C) = 0,1 \times 0,95 = 0,095$ (pois só aprova se não for pego, e mesmo assim só 95% de chance).

• Se não estuda e não cola: $P(A|\bar{E} \cap \bar{C}) = 5\% = 0,05$ (II).

• Se estuda e não cola: $P(A|E \cap \bar{C}) = 80\% = 0,8$ (I).

Precisamos calcular $P(\bar{E} \cap \bar{C} | A)$, a probabilidade de o candidato não estudar e não colar, dado que foi aprovado. Pelo Teorema de Bayes:

Primeiro, calculamos $P(\bar{E} \cap \bar{C})$. Como quem estuda não cola, os eventos $E$ e $C$ são mutuamente exclusivos? Não exatamente: $P(C|E)=0$, então $P(E \cap C)=0$. Assim, $P(\bar{E} \cap \bar{C}) = 1 - P(E) - P(C) = 1 - 0,2 - 0,1 = 0,7$.

Agora, a probabilidade total de aprovação $P(A)$ é a soma das probabilidades de aprovação em cada cenário mutuamente exclusivo:

• Estudar e não colar: $P(E \cap \bar{C}) = P(E) = 0,2$ (pois quem estuda não cola). Contribuição: $0,2 \times 0,8 = 0,16$.

• Não estudar e colar: $P(\bar{E} \cap C) = P(C) = 0,1$. Contribuição: $0,1 \times 0,095 = 0,0095$.

• Não estudar e não colar: $P(\bar{E} \cap \bar{C}) = 0,7$. Contribuição: $0,7 \times 0,05 = 0,035$.

Somando: $P(A) = 0,16 + 0,0095 + 0,035 = 0,2045$.

Portanto:

Como 17,11% é menor que 17,5%, o item está errado.

Alternativa E — ❌ Incorreta (gabarito)

A afirmação diz que a probabilidade é superior a 17,5%. O cálculo correto resulta em aproximadamente 17,11%, que é inferior a 17,5%. Portanto, a afirmativa é falsa.

Gabarito: letra E (Errado).