Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2024

Crescimento percentual composto

Gabarito: letra C. Em seis anos, o número de usuários passará por três períodos de dois anos, cada um com aumento de 10%. Aplicando o fator de aumento sucessivo $1{,}10^3 = 1{,}331$ sobre os 3 milhões atuais, obtemos $3 \times 1{,}331 = 3{,}993$ milhões, que está entre 3,9 e 4,5 milhões — exatamente o intervalo da alternativa C.

O problema trata de variações percentuais sucessivas: quando um valor cresce a uma taxa fixa por vários períodos, não basta somar as porcentagens (isso daria 30% e levaria ao erro de marcar B). É preciso multiplicar os fatores de aumento — cada período de dois anos multiplica o valor por $1 + 0{,}10 = 1{,}10$. Como seis anos equivalem a três biênios, o fator acumulado é $1{,}10 \times 1{,}10 \times 1{,}10 = 1{,}331$, ou seja, um aumento acumulado de 33,1%.

A pegadinha clássica da banca é o candidato calcular $10\% \times 3 = 30\%$ e concluir que o valor final seria $3 \times 1{,}30 = 3{,}9$ milhões — o que o levaria à alternativa B. Mas o crescimento composto é maior que o simples, porque cada aumento incide sobre o valor já acrescido do período anterior. O raciocínio correto é sempre o mesmo: identificar quantos períodos de crescimento existem no intervalo total e aplicar o fator elevado a esse número.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o valor seria inferior a 3,3 milhões. Isso corresponderia a um crescimento de apenas 10% (um único biênio) ou a um crescimento linear de 10% ao ano por três anos (o que daria 3,3 milhões). Mas o enunciado fala em 10% a cada dois anos, e em seis anos há três biênios — o crescimento composto leva a 3,993 milhões, muito acima de 3,3 milhões.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o valor estaria entre 3,3 e 3,9 milhões. Esse intervalo captura o resultado do crescimento simples (30% sobre 3 milhões = 3,9 milhões) ou de um crescimento composto com apenas dois biênios ($3 \times 1{,}21 = 3{,}63$ milhões). Mas o correto é aplicar três fatores de 1,10, resultando em 3,993 milhões — que já ultrapassa 3,9 milhões.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto: $3 \text{ milhões} \times 1{,}10^3 = 3 \times 1{,}331 = 3{,}993$ milhões. Esse valor é superior a 3,9 milhões e inferior a 4,5 milhões, exatamente o intervalo da alternativa. A conta pode ser feita passo a passo: após 2 anos → 3,3 milhões; após 4 anos → 3,63 milhões; após 6 anos → 3,993 milhões.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o valor estaria entre 4,5 e 5,1 milhões. Isso exigiria um fator acumulado entre 1,5 e 1,7, o que corresponderia a uma taxa maior (por exemplo, 15% ao biênio por três períodos daria $1{,}15^3 \approx 1{,}52$, resultando em 4,56 milhões). Mas a taxa do enunciado é de 10% ao biênio, e o fator é 1,331 — muito abaixo de 1,5.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o valor seria superior a 5,1 milhões. Isso exigiria um fator acumulado maior que 1,7, o que não ocorre com três aumentos de 10% (fator 1,331). O valor final de 3,993 milhões está bem abaixo desse patamar.

Gabarito: letra C