Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce191149

Razão e Proporção: Divisão Proporcional

Gabarito: letra D. O volume de água destinado a cada cidade é diretamente proporcional à sua população. Para resolver, expressamos as populações em função de uma única variável $x$ e aplicamos a propriedade das proporções para encontrar a parte correspondente a Campina Grande.

Para organizar o problema, definimos a população de Campina Grande como $x$ . Conforme o enunciado:

População de Campina Grande = $x$
População de João Pessoa = $2x$ (já que a de Campina é metade da de João Pessoa)
População de Patos = $\frac{x}{4}$ (já que a de Patos é 4 vezes menor que a de Campina Grande)

O volume total $V$ é distribuído proporcionalmente às populações. Se $V_{jp}$ , $V_{cg}$ e $V_p$ são os volumes de João Pessoa, Campina Grande e Patos, respectivamente, temos:

\frac{V_{jp}}{2x} = \frac{V_{cg}}{x} = \frac{V_p}{x/4} = k

Somando os numeradores e denominadores (propriedade das proporções), temos:

\frac{V_{jp} + V_{cg} + V_p}{2x + x + x/4} = \frac{V}{\frac{8x + 4x + x}{4}} = \frac{V}{\frac{13x}{4}} = \frac{4V}{13x}

Para encontrar o volume de Campina Grande ( $V_{cg}$ ), igualamos a razão de Campina Grande à constante encontrada:

\frac{V_{cg}}{x} = \frac{4V}{13x} \implies V_{cg} = \frac{4V}{13x} \cdot x = \frac{4}{13}V

NÃO CAIA NESSA!

A banca induz ao erro na montagem das proporções, especialmente na relação de Patos. O candidato costuma confundir "4 vezes menor" com "dividido por 4" (que está correto) ou "multiplicado por 4" (erro comum). Além disso, a manipulação algébrica da soma das frações ( $2x + x + x/4$ ) exige atenção para não errar o denominador comum.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Representa $\frac{1}{4}V$ , que não corresponde à proporção calculada de $\frac{4}{13}V$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Representa $\frac{8}{13}V$ , que seria o volume destinado a João Pessoa ( $V_{jp} = \frac{V_{jp}}{2x} \cdot 2x = \frac{4V}{13x} \cdot 2x = \frac{8}{13}V$ ).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Representa $\frac{1}{13}V$ , que seria o volume destinado à cidade de Patos ( $V_p = \frac{V_p}{x/4} \cdot x/4 = \frac{4V}{13x} \cdot x/4 = \frac{1}{13}V$ ).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Corresponde ao valor calculado de $\frac{4}{13}V$ para a cidade de Campina Grande.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Representa $\frac{1}{2}V$ , valor que não guarda relação com a proporção populacional estabelecida no problema.

Gabarito: letra D.