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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
ce191150
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CAGEPA - PB
Ano
2024
Nível
Superior
Em determinado estado, onde 55% dos estudantes são do sexo feminino, 60% de estudantes do sexo feminino e 70% de estudantes do sexo masculino tiveram desempenho satisfatório na disciplina de matemática. Ao se escolher aleatoriamente um estudante, observou-se que seu desempenho em matemática foi satisfatório.Nessa situação hipotética, a probabilidade de que o estudante escolhido seja do sexo feminino é igual a
  1. A33/100.
  2. B22/43.
  3. C21/43.
  4. D44/71.
  5. E27/71.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 22/43.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 22/43 (alternativa B).

A ideia por trás

A probabilidade condicional mede a chance de um evento ocorrer sabendo que outro já ocorreu. No mundo real, ela responde perguntas como: 'se um aluno passou, qual a chance de ser menina?'. O Teorema de Bayes é a ferramenta que atualiza uma probabilidade inicial (a proporção de meninas) quando chega uma informação nova (o desempenho). A fórmula P(F|S) = P(F)·P(S|F) / P(S) combina a chance de ser menina com a chance de uma menina ter bom desempenho, dividindo pela chance total de bom desempenho na escola. Nesta questão, temos as proporções de cada sexo e as taxas de sucesso em cada grupo, e precisamos inverter a pergunta: em vez de 'qual a chance de uma menina ter sucesso?', queremos 'dado o sucesso, qual a chance de ser menina?'.

O que a questão dá

  • P(F) = 55% = 0,55

  • P(M) = 45% = 0,45

  • P(S|F) = 60% = 0,60

  • P(S|M) = 70% = 0,70

O que queremos: a probabilidade de o estudante ser do sexo feminino, dado que teve desempenho satisfatório

Passo 1 — Calcular a probabilidade de ser menina e ter sucesso

Precisamos da chance de uma menina ter desempenho satisfatório, porque isso é o numerador do Teorema de Bayes. Essa é a probabilidade conjunta: a fração de estudantes que são meninas E tiveram sucesso.

Por que esta fórmula: A probabilidade de dois eventos acontecerem juntos (menina e sucesso) é o produto da probabilidade de ser menina pela probabilidade de sucesso dado que é menina: P(F ∩ S) = P(F) · P(S|F).

P(F∩S)=P(F)⋅P(S∣F)P(F \cap S) = P(F) \cdot P(S|F)

De onde vem cada valor: P(F)P(F) = enunciado: 55% = 0,55 · P(S∣F)P(S|F) = enunciado: 60% = 0,60

P(F∩S)=0,55⋅0,60=0,33P(F \cap S) = 0{,}55 \cdot 0{,}60 = \boxed{0{,}33}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as duas probabilidades e usar apenas 0,55 ou 0,60.

Passo 2 — Calcular a probabilidade de ser menino e ter sucesso

O denominador do Teorema de Bayes é a probabilidade total de sucesso, que inclui tanto meninas quanto meninos. Precisamos da parcela dos meninos para somar.

Por que esta fórmula: Analogamente ao passo 1, a chance de um menino ter sucesso é o produto da proporção de meninos pela taxa de sucesso entre eles: P(M ∩ S) = P(M) · P(S|M).

P(M∩S)=P(M)⋅P(S∣M)P(M \cap S) = P(M) \cdot P(S|M)

De onde vem cada valor: P(M)P(M) = enunciado: 45% = 0,45 (pois 100% - 55%) · P(S∣M)P(S|M) = enunciado: 70% = 0,70

P(M∩S)=0,45⋅0,70=0,315P(M \cap S) = 0{,}45 \cdot 0{,}70 = \boxed{0{,}315}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 0,55 em vez de 0,45 para a proporção de meninos.

Passo 3 — Somar as probabilidades de sucesso

O Teorema de Bayes exige a probabilidade total de sucesso P(S), que é a soma das chances de sucesso em cada grupo. Isso representa a fração de todos os estudantes que tiveram bom desempenho.

Por que esta fórmula: A probabilidade total de um evento é a soma das probabilidades de ele ocorrer em cada cenário mutuamente exclusivo: P(S) = P(F ∩ S) + P(M ∩ S).

P(S)=P(F∩S)+P(M∩S)P(S) = P(F \cap S) + P(M \cap S)

De onde vem cada valor: P(F∩S)P(F \cap S) = passo 1: 0,33 · P(M∩S)P(M \cap S) = passo 2: 0,315

P(S)=0,33+0,315=0,645P(S) = 0{,}33 + 0{,}315 = \boxed{0{,}645}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar uma das parcelas, resultando em denominador errado.

Passo 4 — Aplicar o Teorema de Bayes

Com o numerador (menina e sucesso) e o denominador (sucesso total), podemos calcular a probabilidade condicional pedida: dado que houve sucesso, qual a chance de ser menina?

Por que esta fórmula: O Teorema de Bayes relaciona a probabilidade condicional inversa: P(F|S) = P(F ∩ S) / P(S). É a razão entre a chance de ser menina com sucesso e a chance total de sucesso.

P(F∣S)=P(F∩S)P(S)P(F|S) = \frac{P(F \cap S)}{P(S)}

De onde vem cada valor: P(F∩S)P(F \cap S) = passo 1: 0,33 · P(S)P(S) = passo 3: 0,645

P(F∣S)=0,330,645=0,5116 ...P(F|S) = \frac{0{,}33}{0{,}645} = \boxed{0{,}5116\ ...}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração, calculando P(S|F) em vez de P(F|S).

Passo 5 — Transformar o decimal em fração

As alternativas estão em frações, então precisamos converter o resultado decimal para uma fração equivalente. Isso facilita a comparação com as opções.

Por que esta fórmula: Para converter decimal em fração, multiplicamos numerador e denominador por 1000 para eliminar as casas decimais e depois simplificamos: 0,33/0,645 = 330/645, que simplifica dividindo por 15.

0,330,645=330645=2243\frac{0{,}33}{0{,}645} = \frac{330}{645} = \frac{22}{43}

De onde vem cada valor: 0,330{,}33 = passo 1 · 0,6450{,}645 = passo 3

330645=2243=22 /43\frac{330}{645} = \frac{22}{43} = \boxed{22\ /43}
NÃO CAIA NESSA!

Simplificar incorretamente, por exemplo dividindo por 10 em vez de 15.

Resposta: 22/43 (alternativa B)

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