Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática›Análise Combinatória em Matemática
Código
ce191397
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CNPQ
Ano
2024
Nível
Superior
Em certo mercado disputado por seis empresas, duas delas
gozam de vantagem fiscal por operarem de fora do país. As
proposições P e Q a seguir correspondem às regras desse
mercado.
P: “Se a empresa possuir gestão eficiente, prestar serviços de
qualidade e tiver alta produtividade, então, se destacará no
mercado mesmo se não gozar de vantagem fiscal.”
Q: “Se uma das empresas do mercado possui vantagem fiscal,
esse mercado não é isonômico.”
Acerca dessa situação hipotética, julgue o item seguinte.O número de maneiras de escolher três empresas entre as seis, de modo que não haja duas que gozem de vantagem fiscal, é superior a 15.
CCerto
EErrado
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GabaritoC — Certo
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Análise Combinatória: combinação simples com restrição
Gabarito: CERTO. O número de maneiras de escolher três empresas entre seis, sem que haja duas com vantagem fiscal, é 16 — superior a 15. Como há 2 empresas com vantagem fiscal e 4 sem, devemos escolher 1 entre as 2 com vantagem e 2 entre as 4 sem vantagem, totalizando combinações. Espere — o cálculo correto é outro: escolher 3 empresas de modo que não haja duas com vantagem fiscal significa escolher no máximo 1 empresa com vantagem. Isso pode ocorrer de duas formas: (i) escolher 1 com vantagem e 2 sem vantagem, ou (ii) escolher 0 com vantagem e 3 sem vantagem. O total é , que é superior a 15.
A questão mistura um texto-base sobre lógica proposicional (proposições P e Q) com um item de análise combinatória. O texto-base é apenas contextual — o que importa para o item é a informação de que duas das seis empresas gozam de vantagem fiscal. Portanto, temos 6 empresas no total, sendo 2 com vantagem fiscal e 4 sem vantagem fiscal.
O item pede o número de maneiras de escolher 3 empresas entre as 6, de modo que não haja duas que gozem de vantagem fiscal. Isso significa que, no grupo de 3 escolhidas, podemos ter no máximo 1 empresa com vantagem fiscal. Há dois casos possíveis:
Escolher 1 empresa com vantagem e 2 sem vantagem:
Escolher 1 entre as 2 com vantagem: .
Escolher 2 entre as 4 sem vantagem: .
Total para este caso: .
Escolher 0 empresas com vantagem e 3 sem vantagem:
Escolher 0 entre as 2 com vantagem: .
Escolher 3 entre as 4 sem vantagem: .
Total para este caso: .
Somando os dois casos: maneiras.
Como 16 é superior a 15, o item está CERTO.
Caso
Atribuição
Resultado
Caso 1
1 com vantagem (C₂,₁ = 2) ∧ 2 sem vantagem (C₄,₂ = 6)
12 combinações
Caso 2
0 com vantagem (C₂,₀ = 1) ∧ 3 sem vantagem (C₄,₃ = 4)
4 combinações
Total
Caso 1 + Caso 2
16 > 15 → CERTO
Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO
O item afirma que o número de maneiras é superior a 15. Calculamos:
Caso 1 (1 com vantagem + 2 sem): .
Caso 2 (0 com vantagem + 3 sem): .
Total: .
Como , a afirmação é verdadeira.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta fazer o candidato esquecer o caso em que nenhuma empresa com vantagem fiscal é escolhida. Muitos calculam apenas e concluem que o item está errado (pois 12 < 15). Mas a condição "não haja duas que gozem de vantagem fiscal" permite escolher 0 ou 1 empresa com vantagem — nunca 2. O total de 16 só aparece quando se somam os dois casos. Fique atento: "não haja duas" não significa "escolha exatamente uma".
PEGA ESSA DICA!
Em questões de combinação com restrição do tipo "não pode haver dois do grupo A", divida em casos: escolher 0, 1, 2... do grupo A, respeitando o limite. Some os casos. Aqui: 0 ou 1 empresa com vantagem. Se a restrição fosse "pelo menos uma", você subtrairia do total. Sempre enumere os casos possíveis antes de calcular.