Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — CESPE / CEBRASPE 2024

Equivalência lógica: contrapositiva da condicional

Gabarito: letra D. A proposição P₂ tem a forma de uma condicional: "Se (A e B), então C". A alternativa D é a contrapositiva dessa condicional, que é logicamente equivalente: "Se não C, então não (A e B)", que se desdobra em "não A ou não B". A contrapositiva de uma condicional é sempre equivalente à proposição original, e é exatamente isso que a alternativa D expressa.

A questão cobra o conceito de equivalência lógica, especificamente a contrapositiva de uma proposição condicional. Uma proposição condicional tem a forma "Se P, então Q" (simbolicamente, $P \rightarrow Q$). A contrapositiva dessa proposição é "Se não Q, então não P" (simbolicamente, $\neg Q \rightarrow \neg P$). A contrapositiva é sempre logicamente equivalente à proposição original, ou seja, ambas têm exatamente os mesmos valores de verdade em todas as situações possíveis.

No texto, a proposição P₂ é: "Se a inflação não reflete o aumento do custo de vida do cidadão e os juros básicos da economia caem, a rentabilidade da renda fixa fica prejudicada." Vamos simbolizar:

• $A$: "a inflação não reflete o aumento do custo de vida do cidadão"

• $B$: "os juros básicos da economia caem"

• $C$: "a rentabilidade da renda fixa fica prejudicada"

Assim, P₂ é: $(A \land B) \rightarrow C$.

A contrapositiva dessa proposição é: $\neg C \rightarrow \neg(A \land B)$.

Pela Lei de De Morgan, a negação de uma conjunção ($A \land B$) é a disjunção das negações ($\neg A \lor \neg B$). Portanto, a contrapositiva se torna: $\neg C \rightarrow (\neg A \lor \neg B)$.

Traduzindo de volta para o português, temos: "Se a rentabilidade da renda fixa não fica prejudicada, então a inflação reflete o aumento do custo de vida do cidadão ou os juros básicos da economia não caem." Isso corresponde exatamente à alternativa D.

A banca explora a confusão entre a contrapositiva e outras proposições relacionadas, como a recíproca (que inverte a ordem sem negar) e a inversa (que nega sem inverter), que não são equivalentes à proposição original. A alternativa C, por exemplo, é a recíproca da proposição original, que não é equivalente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa é a inversa da proposição original, que não é equivalente. Ela nega o antecedente e o consequente, mas mantém a ordem: "Se não A ou não B, então não C". A inversa de uma condicional não é logicamente equivalente a ela. A banca troca a contrapositiva pela inversa, uma armadilha clássica.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma conjunção de proposições, não uma condicional. Ela afirma que "A e B acontecem, mas C não acontece", o que é a negação da proposição original, não uma equivalência. A negação de $(A \land B) \rightarrow C$ é $(A \land B) \land \neg C$, que é exatamente o que esta alternativa expressa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa é a recíproca da proposição original: "Se C, então A e B". A recíproca de uma condicional não é logicamente equivalente a ela. A banca inverte a ordem do antecedente e do consequente sem negar, o que é uma pegadinha comum.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a contrapositiva da proposição original, que é sempre logicamente equivalente. Ela nega o consequente e o antecedente, e aplica a Lei de De Morgan para transformar a negação da conjunção em uma disjunção de negações. A estrutura é exatamente $\neg C \rightarrow (\neg A \lor \neg B)$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa é idêntica à alternativa C, apresentando a recíproca da proposição original: "Quando C, então A e B". A palavra "quando" indica uma condicional, mas a ordem é invertida, o que não é uma equivalência lógica.

Gabarito: letra D