GabaritoD — 4
Gabarito: letra D (4). O maior número possível de conselheiros que participam de todas as 5 comissões é 4. A solução usa o fato de que cada conselheiro em todas as comissões ocupa 5 vagas (uma por comissão), enquanto cada um dos demais deve ocupar pelo menos 1 vaga. Para maximizar o número de "universais", devemos minimizar as vagas ocupadas pelos outros, atribuindo a eles exatamente 1 comissão cada.
Total de vagas nas comissões: 5 comissões × 6 membros = 30 vagas.
Sejam (x) conselheiros que participam de todas as 5 comissões. Eles ocupam (5x) vagas.
Os restantes (12 - x) conselheiros devem participar de pelo menos 1 comissão. Para usar o mínimo de vagas, cada um participa de exatamente 1, ocupando ((12 - x)) vagas.
Total de vagas ocupadas: (5x + (12 - x) = 4x + 12).
Esse total não pode exceder 30 vagas:
[
4x + 12 \leq 30 \implies 4x \leq 18 \implies x \leq 4,5.
]
Como (x) é inteiro, o maior valor é (x = 4).
(x = 4): os 4 universais ocupam (4 \times 5 = 20) vagas. Os 8 restantes, cada um em exatamente 1 comissão, ocupam 8 vagas. Total: 28 vagas (≤ 30). Sobram 2 vagas que podem ser preenchidas por alguns dos 8 entrando em outra comissão, mas não afeta o máximo.
(x = 5): 5 universais ocupam 25 vagas; os 7 restantes precisam de pelo menos 7 vagas, total 32 > 30, impossível.
Portanto, o maior número possível é 4.
A banca tenta levar o candidato a fazer uma média simples (30 vagas / 5 comissões = 6 por comissão, ou 30/12 = 2,5 por conselheiro) e escolher o inteiro mais próximo. A chave é perceber que quem participa de todas "consome" mais vagas, e para maximizá-los é preciso reduzir ao mínimo a participação dos demais.
Gabarito: letra D (4).
Link permanente: /questoes/ce191844