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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
ce191855
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ITAIPU BINACIONAL
Ano
2024
Nível
Superior
Situação hipotética CB2A3-II 


    Certa usina hidrelétrica possui cinco unidades geradoras de energia que funcionam independentemente umas das outras. 
Na situação hipotética CB2A3-II, se três unidades geradoras tiverem de ser paradas em certo dia para manutenção, a quantidade de maneiras que a direção da usina poderá escolher para definir as unidades que ficarão paradas será igual a
  1. A125.
  2. B60.
  3. C15.
  4. D10.
  5. E8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 10.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 10 maneiras (alternativa D).

A ideia por trás

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos de contagem. Para resolver problemas de contagem, é essencial identificar se a ordem dos elementos importa ou não. Quando a ordem não importa, usamos combinação; quando importa, usamos arranjo ou permutação. No caso da questão, a direção da usina precisa apenas escolher quais 3 unidades ficarão paradas, sem qualquer ordem de prioridade ou sequência — logo, é uma combinação.

A fórmula da combinação simples é C(n,p) = n! / (p! (n-p)!). Ela conta quantos grupos de p elementos podem ser formados a partir de n elementos distintos, desconsiderando a ordem interna do grupo. Por isso, dividimos por p! para eliminar as permutações que seriam contadas a mais se a ordem importasse. Se a ordem importasse, usaríamos arranjo, que é n!/(n-p)!.

Nesta questão, temos n=5 unidades e p=3 a escolher. Como a ordem não importa, aplicamos a combinação simples. O resultado será o número de maneiras de escolher as unidades que ficarão paradas.

O que a questão dá

  • total de unidades geradoras = 5

  • unidades a parar = 3

O que queremos: o número de maneiras de escolher 3 unidades entre 5, sem importar a ordem

Passo 1 — Identificar que a ordem não importa

Antes de qualquer conta, precisamos decidir se a ordem das unidades escolhidas faz diferença. Escolher as unidades 1, 2 e 3 é o mesmo que escolher 3, 2 e 1: a direção só quer saber quais ficam paradas, não a sequência. Quando a ordem não importa, o problema é de combinação, não de arranjo.

NÃO CAIA NESSA!

Achar que a ordem importa e usar arranjo, o que daria 60 (alternativa B).

Passo 2 — Montar a fórmula da combinação

Como a ordem não importa, usamos a combinação simples. Ela conta quantos grupos de p elementos podem ser formados a partir de n elementos distintos, sem considerar a ordem interna. A fórmula é C(n,p) = n! / (p! (n-p)!).

Por que esta fórmula: É a fórmula específica para escolher p elementos entre n quando a ordem não importa. Se a ordem importasse, usaríamos arranjo, mas aqui não.

Cn,p=n!p!⋅(n−p)!C_{n,p} = \frac{n!}{p! \cdot (n-p)!}

De onde vem cada valor: nn = enunciado: total de unidades = 5 · pp = enunciado: unidades a parar = 3

NÃO CAIA NESSA!

Confundir com arranjo e não dividir por p!.

Passo 3 — Substituir os valores na fórmula

Agora que temos a fórmula, substituímos n=5 e p=3 para calcular o número de combinações. Isso nos dá a expressão numérica que vamos simplificar.

Por que esta fórmula: É a aplicação direta da fórmula da combinação com os dados do problema.

C5,3=5!3!⋅(5−3)!C_{5,3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!}

De onde vem cada valor: 55 = passo 2: n = 5 · 33 = passo 2: p = 3 · (5−3)(5-3) = passo 2: n-p = 2

C5,3=5!3!⋅2!C_{5,3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair n-p e usar 3! no denominador duas vezes.

Passo 4 — Calcular os fatoriais

Precisamos calcular os fatoriais para simplificar a fração. Lembre que n! = n × (n-1) × ... × 1. Vamos expandir 5! e 3! para cancelar termos.

Por que esta fórmula: Fatorial é o produto de todos os inteiros positivos até o número. Expandir ajuda a simplificar.

5!=5×4×3!,3!=3×2×1,2!=2×15! = 5 \times 4 \times 3!, \quad 3! = 3 \times 2 \times 1, \quad 2! = 2 \times 1

De onde vem cada valor: 5!5! = passo 3: numerador · 3!3! = passo 3: denominador · 2!2! = passo 3: denominador

C5,3=5×4×3!3!×2×1C_{5,3} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 5! como 5×4×3×2×1 = 120 e não simplificar, o que dá trabalho desnecessário.

Passo 5 — Simplificar a fração

Cancelamos o 3! do numerador com o do denominador, pois são iguais. Isso reduz a conta para uma multiplicação simples.

Por que esta fórmula: Cancelar fatores comuns é uma propriedade das frações: a/b = (a/c)/(b/c) quando c ≠ 0.

C5,3=5×42×1C_{5,3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1}

De onde vem cada valor: 5×45 \times 4 = passo 4: após cancelar 3! · 2×12 \times 1 = passo 4: 2! = 2

C5,3=202C_{5,3} = \frac{20}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de cancelar e multiplicar tudo, obtendo 120/12 = 10, mas com mais trabalho.

Passo 6 — Dividir para obter o resultado

Agora é só fazer a divisão final: 20 dividido por 2. Isso nos dá o número de maneiras de escolher as 3 unidades.

Por que esta fórmula: A divisão é a operação restante após a simplificação.

C5,3=20÷2C_{5,3} = 20 \div 2

De onde vem cada valor: 2020 = passo 5: 5 × 4 · 22 = passo 5: 2 × 1

C5,3=10=10 maneirasC_{5,3} = 10 = \boxed{10\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão ou esquecer a unidade (maneiras).

Resposta: 10 maneiras (alternativa D)

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