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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
ce191856
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ITAIPU BINACIONAL
Ano
2024
Nível
Superior
Texto CB1A3-II 

    O Conselho de Administração de Itaipu Binacional é composto por 12 conselheiros, sendo 6 brasileiros e 6 paraguaios. Para a realização de análises sobre assuntos econômicos, estratégicos, técnicos, de controladoria e de prospecção de novos negócios, serão montadas cinco comissões, uma para cada assunto, todas com 6 membros cada. Não há impedimento para que uma pessoa participe de mais de uma comissão, nem para que alguém fique sem participar de qualquer uma. 
Tendo como base o texto CB1A3-II, assinale a opção que corresponde à quantidade de maneiras distintas de como a comissão responsável pela análise dos assuntos econômicos pode ser formada se, necessariamente, essa comissão tiver de ser formada por 3 brasileiros e 3 paraguaios.
  1. A36
  2. B400
  3. C924
  4. D1.320
  5. E14.400
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 400

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 400 (alternativa B).

A ideia por trás

A combinação simples é uma forma de contar quantos grupos podemos formar a partir de um conjunto, sem levar em conta a ordem dos elementos. Ela é usada quando a ordem não importa, como em uma comissão sem cargos definidos. A fórmula é C(n,k) = n! / (k!(n-k)!), que conta quantos subconjuntos de k elementos podem ser escolhidos de um total de n. Quando precisamos escolher grupos independentes de categorias diferentes, multiplicamos as combinações de cada categoria, pois cada escolha de um grupo pode ser combinada com cada escolha do outro. Nesta questão, temos que escolher 3 brasileiros entre 6 e 3 paraguaios entre 6, então o total é o produto das duas combinações.

O que a questão dá

  • 6 brasileiros disponíveis

  • 6 paraguaios disponíveis

  • comissão com 3 brasileiros e 3 paraguaios

O que queremos: o número de maneiras distintas de formar a comissão

Passo 1 — Calcular combinação de brasileiros

Precisamos escolher 3 brasileiros entre os 6 disponíveis. Como a ordem não importa, usamos combinação.

Por que esta fórmula: A combinação C(6,3) conta quantos grupos de 3 podem ser formados a partir de 6 elementos, sem considerar a ordem.

C6,3=6!3!(6−3)!C_{6,3} = \frac{6!}{3!(6-3)!}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: 6 brasileiros · 33 = enunciado: comissão com 3 brasileiros

C6,3=6!3!⋅3!=6×5×43×2×1=20C_{6,3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{20}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo A(6,3) = 120, que considera a ordem, mas aqui a ordem não importa.

Passo 2 — Calcular combinação de paraguaios

Analogamente, precisamos escolher 3 paraguaios entre os 6 disponíveis. A mesma lógica se aplica.

Por que esta fórmula: A combinação C(6,3) conta os grupos de 3 paraguaios possíveis, sem ordem.

C6,3=6!3!(6−3)!C_{6,3} = \frac{6!}{3!(6-3)!}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: 6 paraguaios · 33 = enunciado: comissão com 3 paraguaios

C6,3=6!3!⋅3!=6×5×43×2×1=20C_{6,3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{20}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que também são 6 paraguaios, e não outro número.

Passo 3 — Multiplicar as combinações

Cada escolha de brasileiros pode ser combinada com cada escolha de paraguaios, então multiplicamos os resultados (princípio multiplicativo).

Por que esta fórmula: O total de maneiras é o produto das combinações independentes.

Total=C6,3×C6,3Total = C_{6,3} \times C_{6,3}

De onde vem cada valor: C6,3C_{6,3} = passo 2: 20

Total=20×20=400Total = 20 \times 20 = \boxed{400}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as combinações em vez de multiplicar, resultando em 40.

Resposta: 400 (alternativa B)

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