Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Progressões — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaProgressões
Código
ce192052
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Petrobras
Ano
2024
Nível
Médio

        A 200 km da costa do estado do Rio de Janeiro está localizada a plataforma P-71, que atingiu em novembro de 2021 o topo de extração de óleo do pré-sal: 150 mil barris por dia. A plataforma pode estocar até 1,6 milhão de barris de óleo.


A comunicação entre a plataforma e os navios próximos é feita via rádio, cujo transmissor tem alcance máximo de 63 km. A potência do sinal de rádio, P, decai com a distância d, em quilômetros, de acordo com a função P(d) =P0 = ∙ 2-d/9 , sendo P0 a potência de transmissão. 


        Além disso, um robô submarino que auxilia a plataforma experimenta, quando está dentro da água, uma pressão p, em atmosferas, dada pela equação p(h) = k.h + 1, na qual k é uma constante e h é a profundidade do robô, em metros. 

Com base nas informações precedentes, julgue o item que se segue.Caso a produção diária da plataforma P-71 aumentasse, a partir do valor de topo extraído em novembro de 2021, de acordo com uma progressão geométrica de razão r = √2, seriam necessários 4 dias para preencher todo o reservatório da plataforma.
  1. CCerto
  2. EErrado
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Progressão Geométrica aplicada à produção de petróleo

Gabarito: ERRADO. Se a produção diária de 150 mil barris crescesse em progressão geométrica de razão r=2r = \sqrt{2}, a produção acumulada em 4 dias seria de 150.000⋅(2)4−12−1≈1.024.264150.000 \cdot \frac{(\sqrt{2})^4 - 1}{\sqrt{2} - 1} \approx 1.024.264 barris, valor inferior à capacidade de 1,6 milhão de barris. Portanto, não seriam necessários apenas 4 dias para preencher o reservatório — o item está incorreto.

A questão exige o domínio de dois conceitos: a soma dos termos de uma progressão geométrica e a comparação com a capacidade de armazenamento. A produção diária forma uma PG com primeiro termo a1=150.000a_1 = 150.000 barris e razão q=2q = \sqrt{2}. Para saber quantos barris são produzidos em nn dias, usamos a fórmula da soma dos nn primeiros termos de uma PG finita:

Sn=a1(qn−1)q−1S_n = \frac{a_1 (q^n - 1)}{q - 1}

Essa fórmula é válida para q≠1q \neq 1, que é o caso. O erro típico do candidato é calcular apenas o termo do 4º dia (a4=a1⋅q3a_4 = a_1 \cdot q^3) e compará-lo com a capacidade, esquecendo que o reservatório acumula a produção de todos os dias — ou seja, é a soma dos quatro primeiros termos que deve ser comparada com 1,6 milhão.

Vamos aos cálculos:

  • q=2q = \sqrt{2}

  • q4=(2)4=22=4q^4 = (\sqrt{2})^4 = 2^2 = 4

  • q−1=2−1≈0,4142q - 1 = \sqrt{2} - 1 \approx 0,4142

Substituindo na fórmula:

S4=150.000⋅4−12−1=150.000⋅30,4142≈150.000⋅7,2426≈1.086.390 barrisS_4 = 150.000 \cdot \frac{4 - 1}{\sqrt{2} - 1} = 150.000 \cdot \frac{3}{0,4142} \approx 150.000 \cdot 7,2426 \approx 1.086.390 \text{ barris}

(Nota: o valor exato é 150.000⋅3(2+1)≈1.086.396150.000 \cdot 3(\sqrt{2}+1) \approx 1.086.396; a aproximação é suficiente para a comparação.)

Como 1.086.390<1.600.0001.086.390 < 1.600.000, em 4 dias o reservatório não estaria cheio. Para preenchê-lo, seriam necessários mais dias. Portanto, a afirmação de que "seriam necessários 4 dias" é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre termo e soma da PG. O candidato apressado calcula o 4º termo (a4=150.000⋅(2)3≈424.264a_4 = 150.000 \cdot (\sqrt{2})^3 \approx 424.264) e, vendo que é menor que 1,6 milhão, pode até achar que o item está errado, mas por motivo errado. O correto é somar os quatro dias. Outra armadilha é usar a fórmula da soma com qnq^n no lugar de qn−1q^{n-1} — cuidado com o expoente.

Caso

Produção acumulada em 4 dias (S₄)

Capacidade do reservatório

Resultado

Soma dos 4 termos da PG (correto)

150.000 · (√2⁴ − 1)/(√2 − 1) ≈ 1.086.390 barris

1.600.000 barris

S₄ < capacidade → reservatório não cheio em 4 dias

Termo do 4º dia apenas (erro comum)

150.000 · (√2)³ ≈ 424.264 barris

1.600.000 barris

a₄ < capacidade → comparação inadequada, mas também não cheio

Preenchimento total (necessário)

Sₙ = 1.600.000 → n > 4 dias

1.600.000 barris

Necessários mais de 4 dias → item ERRADO

Item — ❌ ERRADO

A afirmação está incorreta porque, como demonstrado, a produção acumulada em 4 dias é de aproximadamente 1,086 milhão de barris, bem abaixo da capacidade de 1,6 milhão. Para preencher o reservatório, seria necessário um número maior de dias. O cálculo correto envolve a soma dos termos da PG, não apenas o termo do 4º dia.

Gabarito: ERRADO

Link permanente: /questoes/ce192052