GabaritoD — 16.º termo.
Gabarito: letra D — 16.º termo. A sequência (0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, ...) segue a lei de formação (a_n = 2^{n-1} - 1), com (n) começando em 1. O primeiro termo superior a 30.000 é o 16.º termo, pois (2^{15} - 1 = 32767 > 30000).
Cada termo é uma potência de 2 menos 1:
1.º termo: (2^{0} - 1 = 0)
2.º termo: (2^{1} - 1 = 1)
3.º termo: (2^{2} - 1 = 3)
4.º termo: (2^{3} - 1 = 7)
5.º termo: (2^{4} - 1 = 15)
6.º termo: (2^{5} - 1 = 31)
7.º termo: (2^{6} - 1 = 63)
Assim, o (n)-ésimo termo é (a_n = 2^{n-1} - 1).
Queremos o menor (n) tal que (a_n > 30000): [2^{n-1} - 1 > 30000 \Rightarrow 2^{n-1} > 30001]
Calculando potências de 2:
(2^{14} = 16384) (menor que 30001)
(2^{15} = 32768) (maior que 30001)
Portanto, (n-1 = 15 \Rightarrow n = 16). O 16.º termo é (2^{15} - 1 = 32767), que é o primeiro valor superior a 30.000.
Verificando o 15.º termo: (2^{14} - 1 = 16383) (inferior a 30.000). Confirma-se que o 16.º é a resposta.
A) 13.º termo: (2^{12} - 1 = 4095) — muito abaixo.
B) 14.º termo: (2^{13} - 1 = 8191) — ainda abaixo.
C) 15.º termo: (2^{14} - 1 = 16383) — abaixo.
D) 16.º termo: (2^{15} - 1 = 32767) — superior.
E) 17.º termo: (2^{16} - 1 = 65535) — também superior, mas não é o primeiro.
Cuidado com a correspondência entre o índice do termo e o expoente. O 15.º termo corresponde a (2^{14} - 1) (expoente 14), e não a (2^{15} - 1). O erro comum é pensar que o 15.º termo é (2^{15} - 1).
Gabarito: letra D — 16.º termo.
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