Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — CESPE / CEBRASPE 2024

Diagramas de Venn: expressão algébrica de subconjuntos

Gabarito: CERTO. O subconjunto destacado na figura II pode, sim, ser expresso como [(C ⋂ B) - A], pois a expressão representa exatamente os elementos que pertencem simultaneamente a C e B, mas não pertencem a A — que é a região destacada na figura. A operação de diferença (−) remove da interseção (C ⋂ B) os elementos que também estão em A.

Para entender por que essa expressão é correta, é preciso dominar as operações básicas com conjuntos. A interseção (⋂) entre dois conjuntos resulta em um novo conjunto formado pelos elementos que pertencem a ambos. Já a diferença (−) entre dois conjuntos, digamos X − Y, resulta em um conjunto formado pelos elementos de X que não pertencem a Y. A expressão [(C ⋂ B) - A] combina essas duas operações: primeiro, identifica-se a interseção entre C e B (elementos comuns a ambos); depois, subtrai-se desse resultado o conjunto A, ou seja, eliminam-se os elementos que também pertencem a A.

Vamos aplicar isso a um exemplo concreto. Suponha que o conjunto universo U seja formado pelos números de 1 a 10. Seja A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5} e C = {3, 4, 5, 6}. A interseção C ⋂ B = {3, 4, 5}. Agora, subtraindo A, temos (C ⋂ B) - A = {4, 5}. Esses são os elementos que estão em C e em B, mas não estão em A. No diagrama de Venn, essa região é exatamente a área de sobreposição entre os círculos C e B, excluindo a parte que também se sobrepõe a A.

A pegadinha que a banca explora aqui é a ordem das operações. O candidato pode ser tentado a interpretar a expressão como C ⋂ (B - A), o que daria um resultado diferente. Em C ⋂ (B - A), primeiro subtrairíamos A de B (elementos de B que não estão em A), e depois faríamos a interseção com C. No exemplo acima, B - A = {4, 5}, e C ⋂ {4, 5} = {4, 5}, que coincide com o resultado anterior. No entanto, isso nem sempre acontece. Se A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5} e C = {3, 4, 5, 6}, a expressão (C ⋂ B) - A = {4, 5}, enquanto C ⋂ (B - A) = {4, 5}. Mas se mudarmos C para {3, 4, 5, 6, 7}, então (C ⋂ B) - A = {4, 5} e C ⋂ (B - A) = {4, 5}. Na verdade, para esses conjuntos, os resultados coincidem, mas não é uma regra geral. A diferença entre as duas expressões fica evidente quando há elementos em B que não estão em A, mas que também não estão em C. Por exemplo, se B = {2, 3, 4, 5, 8}, então B - A = {4, 5, 8}, e C ⋂ (B - A) = {4, 5}, enquanto (C ⋂ B) - A = {4, 5}. Ainda coincide. Para ver a diferença, precisamos de um elemento que esteja em C e em B, mas não em A, e outro que esteja em B, não em A, mas não em C. Se B = {2, 3, 4, 5, 8}, C = {3, 4, 5, 6, 8}, então (C ⋂ B) - A = {4, 5, 8} e C ⋂ (B - A) = {4, 5, 8}. Ainda coincide. Na verdade, a propriedade distributiva da interseção sobre a diferença garante que C ⋂ (B - A) = (C ⋂ B) - A. Portanto, as duas expressões são equivalentes. Mas a banca não explora essa sutileza; ela apenas verifica se o candidato sabe traduzir a região sombreada em uma expressão algébrica.

A figura II destaca uma região específica do diagrama de Venn com três conjuntos. Para resolver a questão, é preciso identificar quais áreas estão sombreadas. A região destacada é a interseção entre B e C, excluindo a parte que também pertence a A. Isso corresponde exatamente à expressão [(C ⋂ B) - A]. A ordem das operações é crucial: primeiro a interseção, depois a diferença. Se a expressão fosse C ⋂ (B - A), a região destacada seria diferente, pois incluiria elementos de C que estão em B, mas não em A, e também elementos de C que não estão em B, o que não corresponde à figura.

Item — ✅ CERTO

A afirmação está correta. A expressão [(C ⋂ B) - A] representa exatamente a região destacada na figura II: elementos que pertencem a C e a B, mas não a A. A operação de interseção (⋂) seleciona os elementos comuns a C e B, e a diferença (−) remove aqueles que também estão em A. Essa é a tradução algébrica direta da região sombreada no diagrama de Venn.

Gabarito: CERTO