Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024

Análise Combinatória: permutação com elementos fixos

Gabarito: letra E (ERRADO). Com C3 fixado como vice-presidente e C5 fixado como ouvidor, restam 5 conselheiros para 5 funções, o que gera $5!$ maneiras, e não $6!5!$. O erro está em considerar que os dois conselheiros fixados ainda podem ser permutados entre as funções, o que contraria a condição imposta.

A questão trata de um problema clássico de permutação com elementos fixos. Temos 7 conselheiros e 7 funções distintas. Quando o enunciado fixa C3 como vice-presidente e C5 como ouvidor, essas duas posições já estão ocupadas, restando 5 conselheiros (C1, C2, C4, C6, C7) para 5 funções (presidente, corregedor, diretor da escola de contas, presidente da 1ª câmara, presidente da 2ª câmara).

O número de maneiras de distribuir esses 5 conselheiros nas 5 funções restantes é uma permutação simples de 5 elementos: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

A expressão $6!5!$ sugerida no item é um produto de dois fatoriais que não corresponde a nenhuma contagem válida nesse contexto. Ela parece ter sido construída ao se considerar, equivocadamente, que os dois conselheiros fixados ainda poderiam ser permutados entre as funções (o que daria $2!$), ou ao se multiplicar o fatorial de 6 pelo fatorial de 5 sem justificativa combinatória.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que existem $6!5!$ maneiras distintas de distribuir os conselheiros entre as funções, considerando que C3 seja vice-presidente e C5 seja ouvidor, está incorreta.

O erro específico: ao fixar C3 e C5 em funções determinadas, eles não podem mais ser permutados. A contagem correta é:

• C3 → vice-presidente (1 possibilidade)

• C5 → ouvidor (1 possibilidade)

• C1, C2, C4, C6, C7 → 5 funções restantes: $5! = 120$ maneiras

Portanto, o total é $1 \times 1 \times 5! = 5! = 120$, e não $6!5!$.

Gabarito: letra E (ERRADO).