Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática›Análise Combinatória em Matemática
Código
ce192946
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TCE-AC
Ano
2024
Nível
Superior
Certo tribunal de contas é composto por sete conselheiros,
identificamos como C1, C2, C3, C4, C5, C6 e C7. Cada um deles
será designado, de maneira aleatória, para ocupar uma destas sete
funções: presidente; vice-presidente; corregedor; ouvidor; diretor
da escola de contas; presidente da 1.ª câmara; presidente da
2.ª câmara.
Com base nessas informações, julgue o item seguinte.Considerando-se que a função de presidente deva ser ocupada, necessariamente, por um dos três conselheiros C₂, C₄ ou C₅, existem 18 × 120 maneiras distintas de distribuir os conselheiros entre as funções citadas.
CCerto
EErrado
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GabaritoC — Certo
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Análise Combinatória: distribuição com restrição
Gabarito: letra C (Certo). A afirmação está correta: existem 18 × 120 = 2.160 maneiras distintas de distribuir os conselheiros, respeitando a restrição de que a presidência seja ocupada por um dos três conselheiros C₂, C₄ ou C₅. O raciocínio é: 3 escolhas para presidente × 6! = 720 permutações dos demais conselheiros nas outras seis funções, o que dá 3 × 720 = 2.160 = 18 × 120.
O problema envolve o princípio multiplicativo e a permutação simples. Temos 7 conselheiros e 7 funções distintas. A restrição fixa que a função de presidente deve ser ocupada por um dos três conselheiros C₂, C₄ ou C₅. Isso significa que temos 3 opções para preencher a presidência. Uma vez escolhido o presidente, restam 6 conselheiros para ocupar as outras 6 funções (vice-presidente, corregedor, ouvidor, diretor da escola de contas, presidente da 1.ª câmara e presidente da 2.ª câmara). Como as funções são distintas, a ordem importa, e o número de maneiras de distribuir os 6 conselheiros restantes é a permutação de 6 elementos: 6! = 720.
Pelo princípio multiplicativo, o total é:
Agora, vejamos se isso equivale a 18 × 120:
Portanto, a igualdade é verdadeira. A banca explorou a decomposição do resultado: 18 = 3 × 6 e 120 = 5!, de modo que 18 × 120 = 3 × 6 × 5! = 3 × 6! = 2.160. O candidato que não perceber essa equivalência pode se confundir, mas o cálculo direto confirma a afirmação.
1Escolher presidente (3 opções)
2Permutar 6 restantes (6!)
3Total: 3 × 720 = 2.160
4Conferir: 18 × 120 = 2.160
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Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO
A afirmativa está correta. O número de maneiras de distribuir os conselheiros, com a restrição de que a presidência seja ocupada por um dos três conselheiros C₂, C₄ ou C₅, é:
Escolha do presidente: 3 opções (C₂, C₄ ou C₅).
Distribuição dos demais: 6! = 720 maneiras (permutação dos 6 conselheiros restantes nas 6 funções restantes).
Total: 3 × 720 = 2.160.
E 18 × 120 = 2.160. Logo, a igualdade apresentada é verdadeira.
Alternativa E — ❌ Errado
A afirmativa não é falsa; ela é verdadeira, como demonstrado. Portanto, a alternativa E está incorreta.