Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2024

Geometria Plana: área de semicírculos e cobertura de câmeras

Gabarito: letra D. Cada câmera tem campo de visão em semicírculo com 40 m de diâmetro, ou seja, raio de 20 m. A área de um semicírculo é metade da área do círculo: $A_{semi} = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi \cdot 20^2}{2} = 200\pi \approx 628\,m^2$. Como são 4 câmeras, a área total coberta é $4 \times 200\pi = 800\pi \approx 2512\,m^2$, que é superior a 2.400 m². As demais alternativas estão incorretas: a área do depósito é 80 × 60 = 4.800 m², e as câmeras não cobrem toda a área, pois a soma das áreas dos semicírculos (≈ 2.512 m²) é menor que a área total.

O problema envolve o cálculo de áreas de figuras planas, especificamente semicírculos, e a comparação com a área de um retângulo. A área do retângulo é dada por $A = b \times h$, onde $b$ é a base e $h$ é a altura. A área de um círculo é $A = \pi r^2$, onde $r$ é o raio. Como o campo de visão é um semicírculo, sua área é metade da área do círculo correspondente. O diâmetro é 40 m, logo o raio é 20 m. A área de cada semicírculo é $\frac{\pi \cdot 20^2}{2} = 200\pi \approx 628\,m^2$. Com 4 câmeras, a área total coberta é $4 \times 200\pi = 800\pi \approx 2512\,m^2$. A área do depósito é $80 \times 60 = 4.800\,m^2$. Portanto, a área coberta é menor que a área total, e a alternativa D é a correta.

A pegadinha da questão está em confundir o diâmetro com o raio, ou em esquecer que o campo de visão é um semicírculo, não um círculo completo. Além disso, é comum o candidato calcular a área do círculo inteiro e multiplicar por 4, obtendo $4 \times \pi \cdot 40^2 = 6400\pi$, que é muito maior que a área do depósito, levando a concluir erroneamente que as câmeras cobrem toda a área. Outra pegadinha é a alternativa E, que afirma que o centro do depósito será captado por todas as câmeras, mas isso não é garantido, pois depende da posição das câmeras e do alcance do campo de visão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A área não coberta pelas câmeras é a diferença entre a área do depósito e a área coberta: $4.800 - 800\pi \approx 4.800 - 2.512 = 2.288\,m^2$. A alternativa afirma que é $4.800 - 160\pi$, o que está incorreto. O erro está em usar o diâmetro (40 m) em vez do raio (20 m) no cálculo da área do semicírculo, ou em calcular a área do círculo inteiro em vez do semicírculo. O valor correto da área não coberta é $4.800 - 800\pi$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

As quatro câmeras não são capazes de cobrir toda a área do depósito. A área total coberta é $800\pi \approx 2.512\,m^2$, que é menor que a área do depósito, $4.800\,m^2$. Portanto, há regiões do depósito que não são cobertas pelas câmeras. A alternativa está incorreta porque superestima a capacidade de cobertura das câmeras.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O campo de alcance das câmeras não é capaz de cobrir toda a área do depósito. A área total coberta pelas quatro câmeras é $800\pi \approx 2.512\,m^2$, que é menor que a área do depósito, $4.800\,m^2$. Portanto, há regiões descobertas. A alternativa está incorreta porque afirma que a cobertura é total, o que não ocorre.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A área total que as câmeras cobrem é $4 \times 200\pi = 800\pi \approx 2.512\,m^2$, que é superior a 2.400 m². O cálculo é feito corretamente: cada câmera cobre um semicírculo de raio 20 m, cuja área é $\frac{\pi \cdot 20^2}{2} = 200\pi$. Multiplicando por 4, obtemos $800\pi$, que é aproximadamente 2.512 m², maior que 2.400 m². Portanto, a alternativa D está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A imagem de uma pessoa no centro do depósito não será necessariamente captada pelas quatro câmeras. O centro do depósito está a 40 m de cada parede (metade de 80 m e metade de 60 m). Cada câmera tem alcance de 20 m (raio do semicírculo). Portanto, o centro está a 40 m de cada câmera, que é maior que o alcance de 20 m. Assim, nenhuma câmera capta o centro do depósito. A alternativa está incorreta porque afirma que todas as câmeras captam o centro, o que não é verdade.

Gabarito: letra D