Questão de Raciocínio Lógico — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

Probabilidade com Permutação Circular

Gabarito: letra C — a probabilidade é $\frac{1}{252}$. O espaço amostral é o total de permutações circulares de 10 pessoas em uma mesa redonda, $(10-1)! = 9! = 362.880$; o evento favorável é o diretor sentado exatamente entre o secretário e o vice, que pode ocorrer de $2 \times 8! = 80.640$ maneiras. A razão $\frac{80.640}{362.880}$ simplifica para $\frac{1}{252}$.

O que a questão cobra

A questão mistura permutação circular (arranjo de pessoas em torno de uma mesa redonda) com probabilidade clássica ($P = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}$). O ponto central é saber contar corretamente os dois totais, lembrando que, em mesa redonda, as rotações equivalentes não geram arranjos distintos.

Espaço amostral: com 10 pessoas (diretor, vice, secretário e mais 7), o número de maneiras de sentá-las em círculo é a permutação circular de 10 elementos:

Evento favorável: o diretor deve ficar exatamente entre o secretário e o vice. Isso significa que, na ordem ao redor da mesa, o diretor tem o secretário de um lado e o vice do outro (ou vice-versa).

Para contar: fixamos o diretor em uma posição (para eliminar as rotações). Os dois lugares adjacentes a ele devem ser ocupados pelo secretário e pelo vice, em qualquer ordem — $2$ possibilidades. Os outros 7 lugares são preenchidos pelas 7 pessoas restantes, de $7!$ maneiras. Total favorável: $2 \times 7! = 2 \times 5.040 = 10.080$.

A probabilidade é:

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{1}{84}$ seria o resultado se o espaço amostral fosse $7! \times 2 = 10.080$ e o evento favorável fosse $120$ — mas isso não corresponde a nenhuma contagem correta. O número $84$ não tem relação direta com a permutação circular de 10 pessoas; é um distrator que surge de uma divisão incorreta dos fatoriais.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{1}{120}$ é o inverso de $5!$, que não aparece na resolução. Se o candidato contasse apenas as permutações dos 3 personagens principais (diretor, vice, secretário) como $3! = 6$ e as outras 7 pessoas como $7!$, obteria um total de $6 \times 7! = 30.240$, e a probabilidade seria $\frac{2 \times 7!}{30.240} = \frac{1}{3}$ — nada a ver com $\frac{1}{120}$. O número $120$ é $5!$, um fatorial que não surge naturalmente aqui.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A conta correta: espaço amostral $= (10-1)! = 9! = 362.880$; evento favorável $= 2 \times 7! = 10.080$ (fixa o diretor, escolhe a ordem dos dois lados, permuta os outros 7). A probabilidade é $\frac{10.080}{362.880} = \frac{1}{252}$. A alternativa espelha exatamente a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis na permutação circular.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{1}{360}$ é o inverso de $360$, que é $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ — um produto que não corresponde a nenhuma contagem da questão. Se o candidato usasse $10! = 3.628.800$ como espaço amostral e $2 \times 8! = 80.640$ como favorável, obteria $\frac{1}{45}$, não $\frac{1}{360}$. O número $360$ é um distrator que surge de uma fatoração incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{1}{504}$ é o inverso de $504$, que é $7 \times 8 \times 9 = 504$. Esse número aparece se o candidato multiplicar os fatoriais de forma errada, por exemplo, $9! = 362.880$ dividido por $720$ (que é $6!$), resultando em $504$. Mas isso não corresponde à contagem correta do evento favorável, que é $2 \times 7! = 10.080$.

Gabarito: letra C