Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce193286

Área de quadrados e diferença de quadrados

Gabarito: letra B (4.225 m²). A área total do terreno é o quadrado de um número natural $x$ ; a área não ocupada é a diferença entre o quadrado do lado do terreno e o quadrado do lado da edificação, ou seja, $x^2 - y^2 = 2929$ . Fatorando a diferença de quadrados, $(x-y)(x+y) = 2929$ , e como $x$ e $y$ são naturais, os fatores devem ser divisores de 2929. A única alternativa que é um quadrado perfeito e satisfaz a equação é 4.225 = $65^2$ , com $x=65$ e $y=36$ (pois $65^2 - 36^2 = 4225 - 1296 = 2929$ ).

A questão mistura dois conceitos de Geometria Plana: a área do quadrado ( $A = l^2$ ) e a fatoração da diferença de dois quadrados ( $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ). O enunciado informa que o terreno é um quadrado de lado $x$ e a edificação é um quadrado de lado $y$ , ambos com lados naturais. A área não ocupada é a diferença entre essas duas áreas: $x^2 - y^2 = 2929$ .

Para resolver, fatoramos 2929. Vejamos: 2929 não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 (teste rápido: $\sqrt{2929} \approx 54,1$ ). Na verdade, 2929 = 29 × 101 (pois 29 × 101 = 2929). Como $x$ e $y$ são naturais e $x > y$ , os fatores $(x-y)$ e $(x+y)$ devem ser divisores positivos de 2929, com $(x-y) < (x+y)$ . As possibilidades são:

$(x-y) = 1$ e $(x+y) = 2929$ → $x = 1465$ , $y = 1464$ → área total = $1465^2 = 2.146.225$ (não está nas alternativas)
$(x-y) = 29$ e $(x+y) = 101$ → $x = 65$ , $y = 36$ → área total = $65^2 = 4.225$ (alternativa B)

Portanto, a área total do terreno é 4.225 m².

Alternativa A — ❌ Incorreta

3.770 m² não é um quadrado perfeito (pois $\sqrt{3770} \approx 61,4$ , não inteiro). Como o terreno é um quadrado de lado natural, sua área deve ser um quadrado perfeito. Além disso, não há par de naturais $(x,y)$ que satisfaça $x^2 - y^2 = 2929$ com $x^2 = 3770$ .

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

4.225 m² é um quadrado perfeito: $4.225 = 65^2$ . Com $x = 65$ , temos $y^2 = 65^2 - 2929 = 4225 - 2929 = 1296 = 36^2$ , logo $y = 36$ , que é natural. A equação é satisfeita, e a área total é exatamente 4.225 m².

Alternativa C — ❌ Incorreta

5.521 m² é um quadrado perfeito ( $5.521 = 74,3^2$ ? Não, $74^2 = 5476$ e $75^2 = 5625$ , então não é quadrado perfeito). Mesmo que fosse, não existe $y$ natural tal que $x^2 - y^2 = 2929$ com $x^2 = 5521$ (pois $5521 - 2929 = 2592$ , que não é quadrado perfeito).

Alternativa D — ❌ Incorreta

7.154 m² não é quadrado perfeito ( $\sqrt{7154} \approx 84,6$ ). Além disso, $7154 - 2929 = 4225 = 65^2$ , mas isso daria $x^2 = 7154$ e $y^2 = 4225$ , com $x$ não inteiro, o que contraria a condição $x \in \mathbb{N}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

10.201 m² é um quadrado perfeito ( $10.201 = 101^2$ ). Porém, $101^2 - 2929 = 10201 - 2929 = 7272$ , que não é quadrado perfeito ( $\sqrt{7272} \approx 85,3$ ). Portanto, não existe $y$ natural que satisfaça a condição.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa: o candidato pode tentar subtrair 2929 de cada alternativa e verificar se o resultado é quadrado perfeito, mas sem fatorar corretamente pode cair em armadilhas. O caminho seguro é fatorar 2929 e testar os pares de divisores, ou verificar diretamente qual alternativa é quadrado perfeito e testar a diferença. Note que 4.225 é o único valor que, subtraído de 2929, resulta em outro quadrado perfeito (1.296 = 36²).

PEGA ESSA DICA!

Em questões de área de quadrados com diferença, lembre-se: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ . Fatorar o número dado (2929) em dois fatores de mesma paridade (ambos ímpares, pois 2929 é ímpar) e resolver o sistema é mais rápido do que testar alternativas uma a uma. Treine reconhecer quadrados perfeitos até 100² (1.000, 4.225, 5.521, 10.201 são alguns).

Gabarito: letra B