Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce194602

Distribuição hipergeométrica: identificação do modelo

Gabarito: letra C (CERTO). A variável X, que conta o número de zonas de risco entre as 5 regiões sorteadas sem reposição de um total de 10 regiões (das quais 4 são de risco), segue exatamente o modelo hipergeométrico. A distribuição hipergeométrica modela o número de sucessos em uma amostra retirada sem reposição de uma população finita com dois grupos — exatamente a situação do enunciado.

A distribuição hipergeométrica é o modelo probabilístico que descreve o número de elementos com uma característica de interesse ("sucessos") em uma amostra de tamanho fixo, retirada sem reposição de uma população finita. Ela se aplica quando:

A população é finita e tem tamanho conhecido $N$ ;
Há exatamente $m$ elementos com a característica de interesse ("sucessos") e $N-m$ sem ela ("fracassos");
Retira-se uma amostra de tamanho $n$ sem reposição;
A variável $X$ conta quantos dos $n$ sorteados têm a característica.

No caso da questão, temos $N = 10$ regiões, $m = 4$ zonas de risco, $n = 5$ fiscalizações sorteadas sem reposição (cada região só pode ser sorteada uma vez), e $X$ = número de zonas de risco entre as sorteadas. Todos os requisitos são atendidos.

A função de probabilidade da hipergeométrica é:

P(X = k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}

onde $\binom{a}{b}$ é o número de combinações de $a$ elementos tomados $b$ a $b$ . A média é $E[X] = n \cdot \frac{m}{N}$ e a variância é $Var(X) = n \cdot \frac{m}{N} \cdot \left(1 - \frac{m}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}$ .

A pegadinha clássica da banca é confundir a hipergeométrica com a binomial. A diferença crucial está na reposição:

Critério	Hipergeométrica	Binomial
Reposição	Sem reposição	Com reposição (ou independência)
População	Finita ( $N$ conhecido)	Infinita ou com reposição
Probabilidade de sucesso	Muda a cada retirada	Constante ( $p$ )
Fórmula	$\frac{\binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$	$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Aqui, como o sorteio é "totalmente aleatório" e cada região só pode ser fiscalizada uma vez (não há reposição), a probabilidade de sortear uma zona de risco muda a cada retirada — o que caracteriza a hipergeométrica, não a binomial.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre hipergeométrica e binomial. O candidato que vê "5 fiscalizações" e "4 zonas de risco" pode pensar em binomial, mas o sorteio é sem reposição — cada região sorteada não volta para o sorteio seguinte. É exatamente isso que torna o modelo hipergeométrico o correto. Com treino, você identifica essa troca de longe 💪.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmativa está correta. O sorteio das 5 regiões é feito sem reposição (uma região sorteada não pode ser sorteada novamente), de uma população finita de 10 regiões, das quais 4 são zonas de risco. A variável $X$ conta quantas zonas de risco aparecem na amostra. Essas são exatamente as condições da distribuição hipergeométrica: amostragem sem reposição de população finita com dois grupos (risco/não risco). Portanto, $X \sim \text{Hipergeométrica}(N=10, m=4, n=5)$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

A afirmativa está incorreta porque nega o que é verdadeiro. A variável $X$ tem distribuição hipergeométrica, pelos motivos expostos acima. Quem marca esta alternativa provavelmente confundiu o modelo com a binomial, ignorando que o sorteio é sem reposição — ou não reconheceu os parâmetros do modelo hipergeométrico no enunciado.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025

Distribuição hipergeométrica: identificação do modelo

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Alternativa E — ❌ Incorreta