Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce194603

Probabilidade com distribuição hipergeométrica: zonas de risco

Gabarito: letra C (CERTO). A probabilidade de pelo menos duas das cinco regiões sorteadas serem zonas de risco é de aproximadamente 73,81%, que é menor que 75%. O cálculo usa a distribuição hipergeométrica, pois as regiões são sorteadas sem reposição, e o resultado confirma a afirmação do enunciado.

A distribuição hipergeométrica é o modelo adequado quando retiramos uma amostra sem reposição de uma população finita dividida em duas categorias (sucesso e fracasso). Aqui, a população é composta por 10 regiões, das quais 4 são zonas de risco (sucesso) e 6 não são (fracasso). Sortear 5 regiões sem reposição significa que a probabilidade de sucesso muda a cada sorteio, o que invalida o uso da distribuição binomial (que exige reposição ou população infinita).

A fórmula da hipergeométrica é:

P(X = k) = \frac{C_{D,k} \times C_{N-D, n-k}}{C_{N,n}}

Onde:

$N = 10$ (total de regiões)
$D = 4$ (zonas de risco)
$n = 5$ (regiões sorteadas)
$k$ = número de zonas de risco na amostra

Para calcular $P(X \geq 2)$ , usamos o complemento: $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ .

Cálculo de $P(X = 0)$ : nenhuma zona de risco entre as 5 sorteadas.

P(X = 0) = \frac{C_{4,0} \times C_{6,5}}{C_{10,5}} = \frac{1 \times 6}{252} = \frac{6}{252} \approx 0,02381

Cálculo de $P(X = 1)$ : exatamente uma zona de risco entre as 5 sorteadas.

P(X = 1) = \frac{C_{4,1} \times C_{6,4}}{C_{10,5}} = \frac{4 \times 15}{252} = \frac{60}{252} \approx 0,23810

Probabilidade complementar:

P(X \geq 2) = 1 - 0,02381 - 0,23810 = 0,73809 \approx 73,81\%

Como 73,81% < 75%, a afirmação está correta.

Caso	Atribuição	Resultado
Caso 1: X = 0	P(X=0) = C(4,0)×C(6,5)/C(10,5) = 6/252	≈ 0,02381
Caso 2: X = 1	P(X=1) = C(4,1)×C(6,4)/C(10,5) = 60/252	≈ 0,23810
Caso 3: X ≥ 2 (complemento)	1 − P(X=0) − P(X=1) = 1 − 0,02381 − 0,23810	≈ 0,73809 (73,81%)
Comparação com 75%	73,81% < 75%	Afirmação correta (Certo)

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A probabilidade calculada é de aproximadamente 73,81%, que é de fato menor que 75%. O raciocínio está correto: usamos a distribuição hipergeométrica porque o sorteio é sem reposição, e o complemento (1 − P(X=0) − P(X=1)) é a forma mais eficiente de calcular a probabilidade de "pelo menos duas".

Alternativa E — ❌ ERRADO

A afirmação de que a probabilidade é menor que 75% está correta, portanto a alternativa "Errado" é falsa. O erro do candidato que marca esta opção geralmente vem de: (1) usar a distribuição binomial no lugar da hipergeométrica, o que daria um resultado diferente; ou (2) errar o cálculo combinatório, esquecendo que $C_{10,5} = 252$ e que as combinações de sucesso e fracasso precisam ser multiplicadas.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre distribuição binomial e hipergeométrica. Na binomial, os sorteios seriam com reposição (ou população infinita), e a probabilidade de sucesso seria constante ( $p = 0,4$ ). Aqui, como o sorteio é sem reposição de uma população finita de 10 regiões, a probabilidade de sucesso muda a cada sorteio — por isso a hipergeométrica é obrigatória. Se o candidato aplicasse a binomial, obteria $P(X \geq 2) = 1 - (0,6)^5 - 5 \times 0,4 \times (0,6)^4 = 1 - 0,07776 - 0,2592 = 0,66304$ (66,3%), que também é menor que 75%, mas por um caminho conceitualmente errado. A banca testa se você identifica o modelo correto, não apenas se o número final é plausível.

PEGA ESSA DICA!

Para identificar o modelo, pergunte-se: "a retirada é com ou sem reposição?" Se for sem reposição de uma população finita e houver duas categorias, use hipergeométrica. Se for com reposição ou a população for grande o suficiente para considerar as probabilidades constantes, use binomial. Na hora da prova, quando o enunciado diz "sorteadas de maneira totalmente aleatória" sem mencionar reposição, o padrão é assumir sem reposição — hipergeométrica.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025

Probabilidade com distribuição hipergeométrica: zonas de risco

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

Alternativa E — ❌ ERRADO