Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025

Independência de variáveis aleatórias contínuas

Gabarito: ERRADO. X e Y não são independentes, pois a função densidade conjunta não pode ser fatorada como produto de uma função de x por uma função de y, e o suporte (região onde a densidade é não nula) é triangular, não retangular — condição necessária para a independência. A fatoração falha tanto pela forma algébrica quanto pela restrição $3x + 2y \le 2$.

Para que duas variáveis aleatórias contínuas sejam independentes, é necessário e suficiente que a função densidade de probabilidade conjunta possa ser escrita como o produto de duas funções, uma dependendo apenas de $x$ e a outra apenas de $y$: $f(x,y) = g(x) \cdot h(y)$. Além disso, o suporte da distribuição conjunta (a região do plano onde $f(x,y) > 0$) deve ser um produto cartesiano de intervalos, ou seja, da forma $x \in A$, $y \in B$. Se o suporte for uma região "cortada" por uma desigualdade que envolve as duas variáveis, como $3x + 2y \le 2$, a independência é impossível, pois a variação de uma variável fica condicionada ao valor da outra.

No caso em questão, a densidade é $f(x,y) = 1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}$, definida para $0 \le x \le 2$, $0 \le y \le 2$ e $3x + 2y \le 2$. A restrição $3x + 2y \le 2$ define um triângulo no primeiro quadrante, e não um retângulo. Isso já é suficiente para concluir que X e Y não são independentes. Além disso, mesmo que o suporte fosse retangular, a função $1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}$ não pode ser fatorada como $g(x) \cdot h(y)$ — ela é uma soma de termos, não um produto. Portanto, a afirmativa está errada.

Item — ❌ ERRADO

A afirmativa "X e Y são independentes" é falsa. Dois argumentos independentes sustentam essa conclusão:

1. O suporte não é retangular: a condição $3x + 2y \le 2$ restringe o domínio a um triângulo. Para independência, o suporte deve ser um retângulo (produto de intervalos). Como a região onde a densidade é positiva não pode ser escrita como $x \in A$, $y \in B$, as variáveis são dependentes.

1. A densidade não fatora: $f(x,y) = 1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}$ é uma soma de termos, não um produto de uma função de $x$ por uma função de $y$. Não existem funções $g(x)$ e $h(y)$ tais que $g(x) \cdot h(y) = 1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}$ para todos os pontos do suporte.

Portanto, a afirmativa está ERRADA.

Gabarito: ERRADO.