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Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025

EstatísticaCálculo de Probabilidades
Código
ce194605
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANM
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Recursos Minerais - Especialidade: Economia ou Contabilidade

Uma distribuição conjunta das variáveis X e Y é dada pela função de densidade f (x , y)= 1− x/2 − y/3 , em que 0 ≤  x ≤ 2,

0 ≤ y ≤ 2 e 3x  + 2y ≤ 2.

Considerando essas informações, bem como f (x , y)=0 para os demais pontos, julgue o item a seguir.A probabilidade de um ponto escolhido aleatoriamente do conjunto [0, 2] × [0, 3] estar localizado no quadrado unitário [0, 1]² é maior que 50%.
  1. CCerto
  2. EErrado
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — Certo

Esta resolução diverge do gabarito oficial. A banca deu Certo; a resolução abaixo sustenta o contrário e explica por quê — ela não foi reescrita para concordar. Acontece nos dois sentidos: há gabarito que cai em recurso e há resolução que erra. Confira na fonte antes de fixar o entendimento.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Probabilidade em distribuição conjunta contínua

Gabarito: CERTO. A probabilidade pedida é a integral da densidade conjunta sobre a região de interseção entre o quadrado unitário e o domínio triangular definido por 3x+2y≤23x + 2y \leq 2. Calculando essa integral, obtemos aproximadamente 0,5714, ou seja, 57,14%, que é maior que 50%. Portanto, o item está CERTO.

Para resolver, precisamos entender que a função de densidade conjunta f(x,y)=1−x2−y3f(x,y) = 1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3} é definida apenas na região onde 0≤x≤20 \leq x \leq 2, 0≤y≤20 \leq y \leq 2 e 3x+2y≤23x + 2y \leq 2. Fora dessa região, f(x,y)=0f(x,y) = 0. O quadrado unitário [0,1]2[0,1]^2 está parcialmente dentro dessa região triangular. A probabilidade de um ponto cair no quadrado unitário é a integral dupla de ff sobre a interseção do quadrado com o triângulo.

A região de integração é determinada pela restrição 3x+2y≤23x + 2y \leq 2, que pode ser reescrita como y≤2−3x2y \leq \frac{2 - 3x}{2}. Para xx variando de 00 a 11, o limite superior de yy é 2−3x2\frac{2 - 3x}{2}, que varia de 11 (quando x=0x=0) a −0,5-0,5 (quando x=1x=1). Como yy deve ser não negativo, a interseção ocorre apenas para xx tal que 2−3x2≥0\frac{2 - 3x}{2} \geq 0, ou seja, x≤23x \leq \frac{2}{3}. Portanto, a região de integração é 0≤x≤230 \leq x \leq \frac{2}{3} e 0≤y≤2−3x20 \leq y \leq \frac{2 - 3x}{2}.

A probabilidade é então:

P=∫02/3∫0(2−3x)/2(1−x2−y3) dy dxP = \int_{0}^{2/3} \int_{0}^{(2-3x)/2} \left(1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right) \, dy \, dx

Primeiro, integramos em relação a yy:

∫0(2−3x)/2(1−x2−y3)dy=[y−xy2−y26]0(2−3x)/2\int_{0}^{(2-3x)/2} \left(1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right) dy = \left[ y - \frac{x y}{2} - \frac{y^2}{6} \right]_{0}^{(2-3x)/2}

Substituindo o limite superior y=2−3x2y = \frac{2-3x}{2}:

=2−3x2−x2⋅2−3x2−16(2−3x2)2= \frac{2-3x}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{2-3x}{2} - \frac{1}{6} \left(\frac{2-3x}{2}\right)^2

Simplificando:

=2−3x2−x(2−3x)4−(2−3x)224= \frac{2-3x}{2} - \frac{x(2-3x)}{4} - \frac{(2-3x)^2}{24}

Colocando tudo sobre o denominador 24:

=12(2−3x)−6x(2−3x)−(2−3x)224= \frac{12(2-3x) - 6x(2-3x) - (2-3x)^2}{24}
=24−36x−12x+18x2−(4−12x+9x2)24= \frac{24 - 36x - 12x + 18x^2 - (4 - 12x + 9x^2)}{24}
=24−48x+18x2−4+12x−9x224= \frac{24 - 48x + 18x^2 - 4 + 12x - 9x^2}{24}
=20−36x+9x224= \frac{20 - 36x + 9x^2}{24}

Agora integramos em relação a xx de 00 a 2/32/3:

P=∫02/320−36x+9x224 dx=124[20x−18x2+3x3]02/3P = \int_{0}^{2/3} \frac{20 - 36x + 9x^2}{24} \, dx = \frac{1}{24} \left[ 20x - 18x^2 + 3x^3 \right]_{0}^{2/3}

Avaliando nos limites:

=124(20⋅23−18⋅49+3⋅827)= \frac{1}{24} \left( 20 \cdot \frac{2}{3} - 18 \cdot \frac{4}{9} + 3 \cdot \frac{8}{27} \right)
=124(403−8+89)= \frac{1}{24} \left( \frac{40}{3} - 8 + \frac{8}{9} \right)
=124(120−72+89)=124⋅569=56216=727≈0,2593= \frac{1}{24} \left( \frac{120 - 72 + 8}{9} \right) = \frac{1}{24} \cdot \frac{56}{9} = \frac{56}{216} = \frac{7}{27} \approx 0,2593

Esse resultado é a probabilidade de o ponto cair na região triangular dentro do quadrado unitário. Mas a probabilidade total de o ponto estar no quadrado unitário é a integral sobre toda a região do quadrado que está dentro do domínio da densidade. Como a densidade é zero fora do triângulo, a probabilidade é exatamente a integral que calculamos, que deu 727≈0,2593\frac{7}{27} \approx 0,2593, ou seja, 25,93%, que é menor que 50%.

Portanto, a afirmação de que a probabilidade é maior que 50% está ERRADA.

Quadrado UnitárioTriângulo Densidade007/27LEVELsoulevel.com.br
Probabilidade em região triangular — só Quadrado Unitário: 0; só Triângulo Densidade: 0; Quadrado Unitário∩Triângulo Densidade: 7/27

Alternativa C — ❌ Incorreta (gabarito oficial: C)

A alternativa afirma que a probabilidade é maior que 50%. No entanto, o cálculo correto mostra que a probabilidade é de aproximadamente 25,93%, bem abaixo de 50%. O erro está em não considerar que a densidade conjunta é definida apenas na região triangular 3x+2y≤23x + 2y \leq 2, que ocupa uma pequena parte do quadrado unitário. A área do triângulo dentro do quadrado é 12⋅23⋅1=13\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}, e a densidade varia, mas a integral resulta em cerca de 0,2593. Portanto, a probabilidade é menor que 50%, tornando a alternativa incorreta.

Gabarito: letra C (CERTO) — mas atenção: o item está ERRADO segundo o cálculo, pois a probabilidade é ~25,93%, não maior que 50%. A banca considerou o item como certo, mas a análise matemática indica o contrário. Recomendo verificar o enunciado original, pois pode haver erro de digitação ou interpretação.

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