Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce194606

Cálculo de probabilidades: esperança de variáveis com densidade conjunta

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação de que $E[X] > E[Y]$ é falsa. Para a densidade conjunta $f(x,y) = 1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}$ definida na região $0 \leq x \leq 2$ , $0 \leq y \leq 2$ e $3x + 2y \leq 2$ , o cálculo das esperanças marginais mostra que $E[X] = E[Y]$ , e não que uma é maior que a outra. A região de suporte é um triângulo restrito, e a simetria da função de densidade em relação a $x$ e $y$ (com coeficientes diferentes, mas que se equilibram na integração) leva a essa igualdade.

A questão exige o cálculo de $E[X]$ e $E[Y]$ a partir da densidade conjunta. O primeiro passo é obter as densidades marginais $f_X(x)$ e $f_Y(y)$ , integrando a densidade conjunta em relação à outra variável, respeitando os limites da região $3x + 2y \leq 2$ . A região é um triângulo com vértices em $(0,0)$ , $(2/3, 0)$ e $(0,1)$ . Para um dado $x$ , $y$ varia de $0$ até $\frac{2 - 3x}{2}$ ; para um dado $y$ , $x$ varia de $0$ até $\frac{2 - 2y}{3}$ .

Calculando a marginal de $X$ :

f_X(x) = \int_{0}^{\frac{2-3x}{2}} \left(1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right) dy = \left[ y - \frac{xy}{2} - \frac{y^2}{6} \right]_{0}^{\frac{2-3x}{2}}

f_X(x) = \frac{2-3x}{2} - \frac{x(2-3x)}{4} - \frac{(2-3x)^2}{24}

Simplificando:

f_X(x) = \frac{12 - 18x - 6x + 9x^2 - (4 - 12x + 9x^2)}{24} = \frac{12 - 24x + 9x^2 - 4 + 12x - 9x^2}{24} = \frac{8 - 12x}{24} = \frac{2 - 3x}{6}

Portanto, $f_X(x) = \frac{2 - 3x}{6}$ para $0 \leq x \leq \frac{2}{3}$ .

Agora, calculando $E[X]$ :

E[X] = \int_{0}^{\frac{2}{3}} x \cdot \frac{2 - 3x}{6} dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{2}{3}} (2x - 3x^2) dx = \frac{1}{6} \left[ x^2 - x^3 \right]_{0}^{\frac{2}{3}}

E[X] = \frac{1}{6} \left( \frac{4}{9} - \frac{8}{27} \right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{12 - 8}{27} = \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{27} = \frac{4}{162} = \frac{2}{81}

De forma análoga, calculando a marginal de $Y$ :

f_Y(y) = \int_{0}^{\frac{2-2y}{3}} \left(1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right) dx = \left[ x - \frac{x^2}{4} - \frac{xy}{3} \right]_{0}^{\frac{2-2y}{3}}

f_Y(y) = \frac{2-2y}{3} - \frac{(2-2y)^2}{36} - \frac{y(2-2y)}{9}

Simplificando:

f_Y(y) = \frac{12 - 12y - (4 - 8y + 4y^2) - 4y + 4y^2}{36} = \frac{12 - 12y - 4 + 8y - 4y^2 - 4y + 4y^2}{36} = \frac{8 - 8y}{36} = \frac{2 - 2y}{9}

Portanto, $f_Y(y) = \frac{2 - 2y}{9}$ para $0 \leq y \leq 1$ .

Calculando $E[Y]$ :

E[Y] = \int_{0}^{1} y \cdot \frac{2 - 2y}{9} dy = \frac{2}{9} \int_{0}^{1} (y - y^2) dy = \frac{2}{9} \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1}

E[Y] = \frac{2}{9} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}

Comparando os resultados:

E[X] = \frac{2}{81} \approx 0,0247

E[Y] = \frac{1}{27} = \frac{3}{81} \approx 0,0370

Portanto, $E[X] < E[Y]$ , e a afirmação $E[X] > E[Y]$ é falsa.

Variável	Densidade Marginal	Limite de Integração	Esperança Calculada	Valor Numérico
X	$(f_X(x) = \frac{2 - 3x}{6})$	$(0 \leq x \leq \frac{2}{3})$	$(E[X] = \int_{0}^{2/3} x \cdot \frac{2-3x}{6} dx)$	$(\frac{2}{81} \approx 0,0247)$
Y	$(f_Y(y) = \frac{2 - 2y}{9})$	$(0 \leq y \leq 1)$	$(E[Y] = \int_{0}^{1} y \cdot \frac{2-2y}{9} dy)$	$(\frac{1}{27} = \frac{3}{81} \approx 0,0370)$
Comparação	—	—	(E[X] < E[Y])	$(\frac{2}{81} < \frac{3}{81})$

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $E[X] > E[Y]$ . O cálculo mostra exatamente o oposto: $E[X] = \frac{2}{81}$ e $E[Y] = \frac{1}{27} = \frac{3}{81}$ , logo $E[X] < E[Y]$ . A banca explora a tentação de comparar os coeficientes da densidade ( $-\frac{x}{2}$ e $-\frac{y}{3}$ ) sem fazer a integração completa. O coeficiente maior em módulo ( $-\frac{x}{2}$ ) não implica que $E[X]$ seja maior; a região de integração e os limites diferentes para $x$ e $y$ (o triângulo tem base maior em $y$ ) invertem a relação. O erro específico é não calcular as marginais e as esperanças, confiando em uma intuição superficial.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que $E[X] > E[Y]$ é falso, o que está correto. Como demonstrado, $E[X] = \frac{2}{81}$ e $E[Y] = \frac{3}{81}$ , portanto $E[X] < E[Y]$ . A afirmação do enunciado é falsa, e a alternativa E (Errado) é a resposta correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato comparar os coeficientes $-\frac{x}{2}$ e $-\frac{y}{3}$ e concluir que, como $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ , então $E[X] > E[Y]$ . Isso é uma armadilha clássica: a esperança depende da integral sobre a região de suporte, que é um triângulo assimétrico. Os limites de integração para $x$ vão até $\frac{2}{3}$ , enquanto para $y$ vão até $1$ , o que dá mais "peso" a $Y$ . Sempre calcule as marginais e integre — nunca confie na comparação direta dos coeficientes.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de esperança com densidade conjunta, siga o roteiro: (1) identifique a região de suporte e os limites de integração; (2) calcule as densidades marginais integrando a conjunta em relação à outra variável; (3) calcule $E[X]$ e $E[Y]$ integrando $x \cdot f_X(x)$ e $y \cdot f_Y(y)$ ; (4) compare os resultados. Esse método funciona para qualquer densidade conjunta contínua.

Gabarito: letra E

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2025

Cálculo de probabilidades: esperança de variáveis com densidade conjunta

Alternativa C — ❌ Incorreta

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO