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Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2025

EstatísticaPrincipais distribuições de probabilidade
Código
ce194925
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANM
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Recursos Minerais - Especialidade: Qualquer Área de Formação (Fiscalização e Distribuição de Receita)
Em relação aos conceitos de probabilidade, julgue o item que se segue.Considere que X é uma variável aleatória de Poisson, e Y é uma distribuição discreta que assume valores no conjunto [1; ∞], tal que P(Y = k) é proporcional a P(X = k). Nesse caso, se ambas as distribuições possuem o mesmo parâmetro, então ocorre P(Y = k) ≥ 4.P(X = k), se esse parâmetro for menor ou igual a −ln 3/4.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Distribuição de Poisson e distribuição truncada

Gabarito: letra C (CERTO). A afirmação está correta: se Y é uma distribuição discreta com suporte em {1, 2, 3, ...} e P(Y = k) é proporcional a P(X = k), onde X ~ Poisson(λ), então, para λ ≤ −ln(3/4), vale P(Y = k) ≥ 4·P(X = k) para todo k ≥ 1. A demonstração decorre da normalização da distribuição de Poisson truncada em zero e da comparação direta das probabilidades.

Vamos entender o problema. A variável X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0, cuja função de probabilidade é:

P(X=k)=e−λλkk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots

A variável Y assume valores em {1, 2, 3, ...} e sua probabilidade é proporcional a P(X = k). Isso significa que Y tem a distribuição de Poisson truncada em zero (excluindo o valor 0). Para que as probabilidades somem 1, precisamos normalizar:

P(Y=k)=P(X=k)1−P(X=0)=e−λλk/k!1−e−λ,k=1,2,3,…P(Y = k) = \frac{P(X = k)}{1 - P(X = 0)} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k / k!}{1 - e^{-\lambda}}, \quad k = 1, 2, 3, \dots

A questão pede para verificar se, para λ ≤ −ln(3/4), vale a desigualdade:

P(Y=k)≥4⋅P(X=k)P(Y = k) \geq 4 \cdot P(X = k)

Substituindo as expressões:

P(X=k)1−e−λ≥4⋅P(X=k)\frac{P(X = k)}{1 - e^{-\lambda}} \geq 4 \cdot P(X = k)

Como P(X = k) > 0 para todo k ≥ 1, podemos dividir ambos os lados por P(X = k):

11−e−λ≥4\frac{1}{1 - e^{-\lambda}} \geq 4

Invertendo (lembrando que 1 − e^{−λ} > 0):

1−e−λ≤141 - e^{-\lambda} \leq \frac{1}{4}
e−λ≥34e^{-\lambda} \geq \frac{3}{4}

Aplicando logaritmo natural (que é crescente):

−λ≥ln⁡(34)-\lambda \geq \ln\left(\frac{3}{4}\right)
λ≤−ln⁡(34)\lambda \leq -\ln\left(\frac{3}{4}\right)

Exatamente a condição do enunciado. Portanto, a desigualdade P(Y = k) ≥ 4·P(X = k) vale para todo k ≥ 1 quando λ ≤ −ln(3/4). O item está CERTO.

PoissonTruncadaP(X=k)P(Y=k)proporcionalLEVELsoulevel.com.br
Distribuições de probabilidade — só Poisson: P(X=k); só Truncada: P(Y=k); Poisson∩Truncada: proporcional
NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir ao apresentar a condição λ ≤ −ln(3/4) de forma aparentemente arbitrária. O candidato pode se perder tentando comparar as distribuições diretamente, sem perceber que a chave é a normalização da Poisson truncada. A desigualdade se reduz a uma condição simples sobre λ, e o limite −ln(3/4) surge naturalmente da álgebra. Fique atento: a condição é sobre o parâmetro λ, não sobre k.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que uma distribuição for definida como "proporcional a" outra, lembre-se de que é necessário normalizar pela soma das probabilidades no suporte. Para a Poisson truncada em zero, o fator de normalização é 1 − e^{−λ}. Essa é uma técnica recorrente em questões de distribuições condicionadas ou truncadas.

Gabarito: letra C (CERTO).

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