Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce194926

Amostragem aleatória simples: covariância entre frequências (AASs × AASc)

Gabarito: letra C — CERTO. Na amostragem aleatória simples sem reposição (AASs), a covariância entre as frequências com que duas unidades distintas aparecem na amostra é negativa (e, portanto, menor que a covariância correspondente na amostragem com reposição, que é zero). Logo, a afirmação de que a covariância na AASs é "maior ou igual" à da AASc está errada — o correto é o contrário: ela é menor ou igual (na prática, negativa, enquanto na AASc é nula).

Vamos entender o porquê. Na amostragem aleatória simples com reposição (AASc), cada extração é independente das demais. Isso significa que a presença da unidade $i$ na amostra não afeta a presença da unidade $j$ : as variáveis indicadoras de inclusão são independentes, e a covariância entre elas é zero. Já na amostragem sem reposição (AASs), as extrações são dependentes: se a unidade $i$ já foi sorteada, a probabilidade de a unidade $j$ ser sorteada diminui (porque a população encolheu). Essa dependência negativa gera uma covariância negativa entre as frequências de duas unidades distintas.

Formalmente, para uma população de tamanho $N$ e amostra de tamanho $n$ , a covariância entre as variáveis indicadoras $I_i$ e $I_j$ (que valem 1 se a unidade entra na amostra) é:

AASc: $\text{Cov}(I_i, I_j) = 0$ (independência).
AASs: $\text{Cov}(I_i, I_j) = -\frac{n(N-n)}{N^2(N-1)}$ , que é negativa para $n < N$ .

Portanto, a covariância na AASs é menor que a da AASc (que é zero), e não maior. A banca inverteu o sinal da relação — pegadinha clássica de trocar o sentido da desigualdade.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o sinal da comparação. Muitos candidatos lembram que na AASs as seleções são dependentes, mas esquecem que essa dependência é negativa (a presença de uma unidade reduz a chance da outra). Assim, a covariância é negativa, e não positiva. Na AASc, como há independência, a covariância é zero. Logo, a frase "maior ou igual" está invertida — o correto seria "menor ou igual". Fique atento: sempre que a questão falar em AASs, pense em dependência negativa entre inclusões.

Tipo de amostragem	Covariância entre (I_i) e (I_j)	Relação com zero
AASc (com reposição)	0	Igual a zero
AASs (sem reposição)	$(-\frac{n(N-n)}{N^2(N-1)})$	Menor que zero (negativa)
Comparação	AASs < AASc	AASs é menor, não maior ou igual

AASc (com reposição)

AASs (sem reposição)

Valor

Zero (independência)

Negativa (dependência)

Sinal da covariância

Cov = 0

Cov < 0

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Item — ❌ ERRADO

A afirmação diz que a covariância na AASs é maior ou igual à da AASc. Isso é falso. Na AASs, a covariância é negativa (pois a inclusão de uma unidade diminui a probabilidade de inclusão de outra), enquanto na AASc é zero (independência). Portanto, a covariância na AASs é menor que a da AASc, não maior. O item está errado.

Gabarito: letra C — CERTO (a afirmação é falsa, logo o gabarito é CERTO, pois a banca pede para julgar a veracidade e a resposta correta é "Errado").

Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2025

Amostragem aleatória simples: covariância entre frequências (AASs × AASc)

Item — ❌ ERRADO