Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce194929

Amostragem aleatória simples sem reposição e a distribuição da frequência amostral

Gabarito: letra E — ERRADO. Na amostragem aleatória simples sem reposição, a i-ésima unidade selecionada não segue uma distribuição Binomial com parâmetros n e 1/N. A distribuição Binomial modela o número de sucessos em n tentativas independentes com probabilidade constante de sucesso; na AAS sem reposição, as extrações são dependentes e a probabilidade de seleção muda a cada sorteio, o que invalida o uso da Binomial. O modelo correto para o número de unidades de um determinado tipo na amostra, quando a população é finita e a amostragem é sem reposição, é a distribuição Hipergeométrica.

A questão mistura dois conceitos: a distribuição de probabilidade de uma variável amostral e a distribuição Binomial. Na amostragem aleatória simples com reposição, cada extração é independente e a probabilidade de selecionar um elemento específico é constante e igual a 1/N. Nesse caso, se definirmos uma variável indicadora que assume valor 1 quando o elemento é selecionado, o número de vezes que um elemento específico aparece na amostra segue uma distribuição Binomial com parâmetros n (tamanho da amostra) e p = 1/N. Porém, o enunciado fala explicitamente em sem reposição, e nesse cenário as extrações não são independentes: após cada sorteio, a população diminui e as probabilidades se alteram. A distribuição que descreve o número de elementos de um certo tipo na amostra, sem reposição, é a Hipergeométrica, cuja função de probabilidade é:

P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

onde N é o tamanho da população, K é o número de elementos com a característica de interesse, n é o tamanho da amostra e k é o número de elementos com a característica na amostra.

A pegadinha da banca está em trocar o regime de amostragem: ela afirma que a frequência segue Binomial, o que só seria verdadeiro na amostragem com reposição (ou população infinita). Como o item diz "sem reposição", a afirmação é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre amostragem com e sem reposição. Na com reposição, as extrações são independentes e a probabilidade de seleção é constante (1/N), o que justificaria a Binomial. Na sem reposição, as extrações são dependentes e a probabilidade muda a cada sorteio, o que exige a Hipergeométrica. O candidato que não atenta para o termo "sem reposição" marca Certo, caindo na armadilha.

Regime de amostragem	Independência das extrações	Probabilidade de seleção	Distribuição correta da frequência	Afirmação do item (Binomial)
Com reposição	Independentes	Constante (1/N)	Binomial(n, 1/N)	Verdadeira
Sem reposição	Dependentes	Muda a cada sorteio	Hipergeométrica	Falsa

Amostragem sem reposição

1Extrações dependentes
- Probabilidade muda a cada sorteio
- Modelo: Hipergeométrica
2Com reposição
- Extrações independentes
- Probabilidade constante (1/N)
- Modelo: Binomial(n, 1/N)

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Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

O item está errado porque a distribuição Binomial não se aplica à amostragem sem reposição. A Binomial pressupõe tentativas independentes com probabilidade constante de sucesso, o que não ocorre quando os elementos não são repostos. O correto é a distribuição Hipergeométrica, que modela exatamente o número de sucessos em uma amostra extraída sem reposição de uma população finita. Portanto, a frequência da i-ésima unidade não segue Binomial(n, 1/N) nesse contexto.

Gabarito: letra E — ERRADO.

Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2025

Amostragem aleatória simples sem reposição e a distribuição da frequência amostral

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO