Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — CESPE / CEBRASPE 2025

Covariância e correlação: a armadilha da escala

Gabarito: letra E — ERRADO. A covariância é uma medida que depende da escala (unidade de medida) das variáveis, portanto não pode ser usada diretamente para comparar a força da relação entre pares de variáveis diferentes. Para comparar a intensidade da associação, é necessário usar o coeficiente de correlação de Pearson, que é adimensional e varia entre -1 e 1. A afirmação de que X é mais correlacionado com Z do que com Y, apenas porque Cov(X,Z) > Cov(X,Y), é falsa.

A covariância mede a tendência de duas variáveis variarem juntas, mas seu valor absoluto não indica a força da relação. Por exemplo, se as variáveis forem medidas em unidades diferentes (metros vs. centímetros, reais vs. milhares de reais), a covariância muda de valor sem que a relação real entre elas mude. O coeficiente de correlação de Pearson, definido como:

normaliza a covariância pelo produto dos desvios-padrão, resultando em um valor entre -1 e 1, que permite comparações diretas entre diferentes pares de variáveis.

No enunciado, temos Cov(X,Y) = 256 e Cov(X,Z) = 1024. Sem conhecer os desvios-padrão de Y e Z, não é possível afirmar que a correlação entre X e Z é maior que entre X e Y. Por exemplo, se $\sigma_Y = 16$ e $\sigma_Z = 64$, então $\rho(X,Y) = 256/(\sigma_X \cdot 16)$ e $\rho(X,Z) = 1024/(\sigma_X \cdot 64) = 16/\sigma_X$, enquanto $\rho(X,Y) = 16/\sigma_X$ também — as correlações seriam iguais. Ou seja, a covariância maior pode ser compensada por uma variabilidade maior, resultando em correlação menor ou igual.

A banca explora exatamente essa confusão: o candidato que sabe que covariância maior indica relação mais forte (o que é verdade apenas quando as escalas são comparáveis) acaba marcando "Certo". Mas a questão não fornece as variâncias, então a comparação é impossível.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que X é mais correlacionado com Z do que com Y, baseando-se apenas nos valores das covariâncias. O erro está em ignorar que a covariância é sensível à escala das variáveis. Para comparar a força da relação, seria necessário calcular os coeficientes de correlação, que dependem também dos desvios-padrão de Y e Z. Sem esses dados, a afirmação não pode ser sustentada.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa correta é a que nega a afirmação. A covariância, por si só, não permite comparar a intensidade da relação entre diferentes pares de variáveis. O coeficiente de correlação de Pearson é a medida adequada para essa comparação, pois é adimensional e normalizado. Como o enunciado não fornece os desvios-padrão, a conclusão de que X é mais correlacionado com Z é indevida.

Gabarito: letra E