Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2025

Distribuição t de Student e distribuição normal

Gabarito: letra B. A distribuição t de Student, que possui caudas mais pesadas que a normal para amostras pequenas, aproxima-se da distribuição normal padrão à medida que o tamanho da amostra (graus de liberdade) aumenta. Essa é uma propriedade fundamental da distribuição t, utilizada na inferência estatística quando a variância populacional é desconhecida.

A distribuição t de Student é uma família de distribuições contínuas, simétricas e em forma de sino, caracterizada por um parâmetro chamado graus de liberdade (ν). Para valores pequenos de ν, a distribuição t tem caudas mais largas e um pico mais baixo do que a distribuição normal padrão, refletindo a maior incerteza introduzida pela estimativa da variância populacional a partir da amostra. À medida que ν aumenta, a distribuição t se torna cada vez mais próxima da distribuição normal padrão, convergindo para ela quando ν tende ao infinito. Na prática, para amostras grandes (tipicamente n > 30), a diferença entre as duas distribuições é desprezível, e muitos estatísticos usam a normal como aproximação.

A questão explora exatamente essa relação de convergência, um ponto central na construção de intervalos de confiança e testes de hipóteses para a média quando a variância populacional é desconhecida. A alternativa correta (B) captura essa propriedade de forma direta e precisa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a distribuição normal possui caudas mais largas do que a t de Student, independentemente do tamanho da amostra. Isso é o oposto do que ocorre: para amostras pequenas, a distribuição t tem caudas mais largas (mais pesadas) que a normal, e essa diferença diminui conforme a amostra cresce. A normal não possui caudas mais largas que a t em nenhum cenário; a relação é inversa.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta. Isso ocorre porque o número de graus de liberdade (ν = n − 1) cresce com a amostra, e a distribuição t converge para a normal padrão quando ν → ∞. Essa é a propriedade que justifica o uso da normal como aproximação para amostras grandes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A padronização de uma variável normal, $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, transforma a distribuição original em uma normal padrão com média 0 e variância 1. Portanto, os parâmetros estatísticos são alterados: a média deixa de ser μ e passa a ser 0, e a variância deixa de ser σ² e passa a ser 1. A afirmação de que a padronização mantém μ e σ² inalterados é falsa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O coeficiente de variação (CV = σ/μ) é uma medida relativa de dispersão, usada para comparar a variabilidade de conjuntos de dados com médias diferentes. Ele não tem relação com a padronização de uma variável normal, que é feita subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão. A padronização utiliza a média e o desvio padrão, não o coeficiente de variação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O cálculo de probabilidades na distribuição normal não é feito diretamente pela fórmula da função densidade de probabilidade, pois essa função não possui primitiva elementar. Na prática, utilizam-se tabelas da distribuição normal padrão, softwares estatísticos ou calculadoras. A afirmação de que todos os valores podem ser encontrados diretamente na fórmula é incorreta.

Gabarito: letra B