Questão de Economia — Microeconomia — CESPE / CEBRASPE 2025

Minimização de Custos com Função de Produção Cobb-Douglas

Gabarito: letra B. A condição de minimização de custos no longo prazo iguala a taxa marginal de substituição técnica (TMST) à razão dos preços dos fatores. Para a função de produção $y = 5K^{2/3}L^{1/3}$, com $r=0,02$ e $w=6$, obtém-se $K = 600L$, relação independente de $y$ por se tratar de retornos constantes de escala.

A TMST é dada por $TMST = \frac{PMg_L}{PMg_K} = \frac{(5/3)(K/L)^{2/3}}{(10/3)(L/K)^{1/3}} = \frac{1}{2}\frac{K}{L}$. Igualando à razão $w/r = 6/0,02 = 300$, temos $\frac{1}{2}\frac{K}{L}=300 \Rightarrow \frac{K}{L}=600$, logo $K=600L$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A relação $K=800L$ implicaria $K/L=800$, levando a uma TMST de $400$, superior à razão de preços $300$. Não é a escolha ótima.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, a condição de tangência resulta em $K=600L$, que minimiza o custo para qualquer nível de produção $y$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$K=500L$ daria $K/L=500$, TMST de $250$, inferior a $300$. Não satisfaz a condição de primeira ordem.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$K=300L$ resulta em TMST de $150$, muito abaixo do necessário.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$K=200L$ gera TMST de $100$, distante do equilíbrio.

Gabarito: letra B