Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2025

Regressão linear simples e mínimos quadrados ordinários

Gabarito: letra C. A equação da regressão linear simples é corretamente expressa como $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$, em que $\beta_0$ é o intercepto, $\beta_1$ é o coeficiente angular e $\epsilon$ é o termo de erro aleatório — exatamente o que a alternativa afirma. As demais opções distorcem conceitos básicos do modelo: a regressão simples usa uma variável independente, o intercepto (não o coeficiente angular) é o valor previsto quando $x=0$, os resíduos devem ter variância constante (homocedasticidade), e a medida de ajuste é o coeficiente de determinação $R^2$, não a mediana dos resíduos.

A regressão linear simples é a técnica estatística que modela a relação entre uma variável dependente (resposta) e uma única variável independente (explicativa), ajustando uma reta da forma $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$. O método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) estima os parâmetros $\beta_0$ e $\beta_1$ minimizando a soma dos quadrados dos resíduos, ou seja, minimizando $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$. Os resíduos $e_i = y_i - \hat{y}_i$ representam a parte da variação de $y$ não explicada pelo modelo.

Os pressupostos clássicos do modelo incluem: média dos erros nula ($E[\epsilon]=0$), variância constante dos erros (homocedasticidade, $Var[\epsilon]=\sigma^2$), independência dos erros e, para inferência, normalidade. A violação da homocedasticidade (variâncias diferentes) é chamada de heterocedasticidade e compromete a validade dos testes de hipóteses.

A qualidade do ajuste é avaliada principalmente pelo coeficiente de determinação $R^2$, que mede a proporção da variabilidade total de $y$ explicada pelo modelo: $R^2 = \frac{SQR}{SQT} = 1 - \frac{SQE}{SQT}$, em que $SQR$ é a soma dos quadrados da regressão, $SQT$ a soma dos quadrados total e $SQE$ a soma dos quadrados dos erros. O $R^2$ varia entre 0 e 1, e quanto mais próximo de 1, melhor o ajuste.

A banca explora aqui a confusão entre os papéis dos coeficientes: o intercepto $\beta_0$ é o valor esperado de $y$ quando $x=0$, enquanto o coeficiente angular $\beta_1$ mede a variação esperada em $y$ para cada aumento unitário em $x$. Trocar essas interpretações é um erro clássico.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A regressão linear simples utiliza apenas uma variável independente. Quando há duas ou mais variáveis independentes, o modelo é de regressão linear múltipla. A alternativa descreve a regressão múltipla, não a simples.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O coeficiente angular $\beta_1$ representa a variação esperada na variável dependente para cada aumento de uma unidade na variável independente. O valor previsto quando $x=0$ é o intercepto $\beta_0$. A alternativa troca os papéis dos coeficientes.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$ é a forma geral da regressão linear simples, com $\beta_0$ (intercepto), $\beta_1$ (coeficiente angular) e $\epsilon$ (erro aleatório). É a definição canônica do modelo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Um dos pressupostos do modelo é a homocedasticidade: os resíduos devem ter variância constante ao longo dos valores previstos. A alternativa afirma o contrário (variâncias diferentes), o que caracterizaria heterocedasticidade — uma violação do pressuposto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A principal medida de ajuste é o coeficiente de determinação $R^2$, que indica a proporção da variabilidade de $y$ explicada pelo modelo. A mediana dos resíduos não é utilizada para avaliar o ajuste; além disso, a média dos resíduos é zero por construção no MQO (quando há intercepto), mas isso não mede a qualidade do ajuste.

Gabarito: letra C