Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce196422

Tamanho mínimo da amostra para estimar proporção

Gabarito: letra C. Para estimar uma proporção com erro amostral máximo de 5% e nível de confiança de 95%, o tamanho mínimo da amostra é dado por $n = \frac{z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2}$ . Como a proporção populacional $p$ é desconhecida, adota-se o caso de máxima variância, $p = 0{,}5$ , e $z = 1{,}96$ (para 95% de confiança). Substituindo: $n = \frac{1{,}96^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}05^2} = 384{,}16$ , ou seja, $n \geq 385$ . Como a população é finita ( $N = 500$ ), aplica-se a correção de população finita, resultando em $n \approx 218$ , que se enquadra no intervalo "inferior a 250 e superior ou igual a 200" — exatamente a letra C.

A questão cobra o cálculo do tamanho amostral para estimação de proporção, um tema clássico de amostragem. A fórmula básica (para população infinita ou amostragem com reposição) é:

n_0 = \frac{z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2}

onde $z$ é o valor crítico da normal padrão para o nível de confiança desejado, $p$ é a proporção estimada (quando desconhecida, usa-se $p = 0{,}5$ , que maximiza o produto $p(1-p)$ e, portanto, o tamanho da amostra), e $E$ é o erro amostral máximo tolerado.

Para 95% de confiança, $z = 1{,}96$ . Com $E = 0{,}05$ e $p = 0{,}5$ :

n_0 = \frac{1{,}96^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}05^2} = \frac{3{,}8416 \cdot 0{,}25}{0{,}0025} = \frac{0{,}9604}{0{,}0025} = 384{,}16

Como o tamanho da amostra deve ser inteiro, arredonda-se para cima: $n_0 = 385$ .

Porém, a população é finita ( $N = 500$ ), e a amostragem é sem reposição. Nesse caso, aplica-se a correção de população finita (fórmula de Cochran):

n = \frac{n_0}{1 + \frac{n_0 - 1}{N}}

Substituindo:

n = \frac{385}{1 + \frac{384}{500}} = \frac{385}{1 + 0{,}768} = \frac{385}{1{,}768} \approx 217{,}76

Arredondando para cima, $n \approx 218$ . Esse valor está no intervalo "inferior a 250 e superior ou igual a 200", que corresponde à letra C.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não informa o nível de confiança, mas a convenção em questões de amostragem é usar 95% ( $z = 1{,}96$ ). O candidato que não aplica a correção de população finita encontra $n = 385$ , que não está em nenhuma alternativa — forçando-o a perceber que a população é finita. Outra pegadinha é usar $p = 0{,}5$ (máxima variância) quando a proporção é desconhecida; quem usa outro valor, como $p = 0{,}2$ , obtém um $n$ menor e erra.

1n₀ = z²·p·(1-p)/E²
2n₀ = 385 (p=0,5; z=1,96; E=0,05)
3Correção p/ população finita (N=500)
4n ≈ 218 → letra C

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o tamanho mínimo está entre 50 e 100. Esse valor é muito baixo para o erro de 5% com 95% de confiança. Mesmo sem a correção de população finita, o mínimo seria 385; com a correção, 218. Não há cenário em que $n$ fique abaixo de 100 para esses parâmetros.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o tamanho mínimo está entre 100 e 150. Também é insuficiente. O cálculo correto (com correção) dá $n \approx 218$ , muito acima desse intervalo. O candidato que erra aqui provavelmente usou um $z$ menor (como $z = 1{,}645$ para 90%) ou uma proporção $p$ diferente de 0,5.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O tamanho mínimo calculado é $n \approx 218$ , que está no intervalo "inferior a 250 e superior ou igual a 200". Aplicando a fórmula com $z = 1{,}96$ , $p = 0{,}5$ , $E = 0{,}05$ e a correção para população finita $N = 500$ , obtém-se exatamente esse valor. É a única alternativa que contém o resultado correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o tamanho mínimo está entre 300 e 350. Esse valor seria obtido se a correção de população finita não fosse aplicada corretamente ou se o erro fosse menor (como 4%). Com os dados do enunciado, o valor correto é 218, não 300.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o tamanho mínimo está entre 400 e 450. Esse valor corresponde ao cálculo sem a correção de população finita ( $n_0 = 385$ , que arredondado para cima daria 385, não 400). O candidato que não aplica a correção encontra 385, que não está em nenhuma alternativa, mas 400+ seria um chute ainda maior. O correto é 218.

Gabarito: letra C