Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — CESPE / CEBRASPE 2025

Coeficiente de correlação e coeficiente de determinação

Gabarito: letra E — todos os itens estão certos. A questão cobra a relação entre o coeficiente de correlação linear de Pearson ($r$) e o coeficiente de determinação ($R^2$), que é o quadrado da correlação e mede a proporção da variação de Y explicada pela reta de regressão. O item II é o coração da questão: com $r = 0,9813$, temos $R^2 = 0,9813^2 = 0,9629$, ou seja, 96,29% da variação total é explicada pelo modelo — exatamente o que o item afirma.

O coeficiente de correlação linear de Pearson ($r$) mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis quantitativas. Ele varia no intervalo $[-1, +1]$: valores próximos de $+1$ indicam correlação positiva forte (quando X cresce, Y tende a crescer), valores próximos de $-1$ indicam correlação negativa forte (quando X cresce, Y tende a decrescer), e valores próximos de 0 indicam ausência de relação linear. O sinal de $r$ é o mesmo do coeficiente angular $b$ da reta de regressão $Y = a + bX$: se $r > 0$, a reta é crescente; se $r < 0$, a reta é decrescente.

O coeficiente de determinação ($R^2$) é o quadrado do coeficiente de correlação ($R^2 = r^2$) e representa a proporção da variabilidade total da variável dependente que é explicada pelo modelo de regressão. Quando $r = 0,9813$, temos $R^2 = 0,9629$, o que significa que 96,29% das variações de Y são explicadas pela reta ajustada. Quando $r = -1$ ou $r = +1$, a correlação é perfeita e $R^2 = 1$, ou seja, o modelo explica 100% da variação — o ajuste é perfeito.

A pegadinha clássica da banca é confundir o coeficiente de correlação ($r$) com o coeficiente de determinação ($R^2$). O primeiro mede a força e a direção da relação linear; o segundo mede a proporção da variância explicada. São conceitos distintos, mas relacionados: $R^2 = r^2$. Outra pegadinha é esquecer que o sinal de $r$ indica a direção da relação (crescente ou decrescente), não a qualidade do ajuste — um $r = -0,9$ indica um ajuste tão bom quanto um $r = +0,9$, apenas com relação inversa.

Item I — ✅ Correto

O item afirma que, se $r$ estiver próximo de $+1$, a reta será crescente e representará a correlação com mínima dispersão. Isso está correto: $r$ próximo de $+1$ indica correlação positiva forte, o que significa que a reta de regressão é crescente (coeficiente angular positivo) e os pontos observados estão muito próximos da reta ajustada, ou seja, a dispersão é mínima. Quanto mais próximo de $+1$, mais forte a relação linear positiva e menor a dispersão dos pontos em torno da reta.

Item II — ✅ Correto

O item afirma que, com $r = 0,9813$, 96,29% das variações totais serão explicadas pela reta de regressão. Isso está correto, pois o coeficiente de determinação é $R^2 = r^2 = 0,9813^2 = 0,9629$, ou seja, 96,29%. Esse valor representa a proporção da variabilidade total de Y que é explicada pelo modelo de regressão linear $Y = a + bX$. O restante (3,71%) corresponde à variação não explicada, atribuída aos resíduos.

Item III — ✅ Correto

O item afirma que, se $r = -1$, a reta ajustada explicará toda a variação de Y e o ajuste linear será excelente. Isso está correto: $r = -1$ indica correlação linear perfeita negativa, o que implica $R^2 = 1$. Isso significa que 100% da variação de Y é explicada pela reta de regressão, ou seja, todos os pontos estão exatamente sobre a reta (que é decrescente). O ajuste é perfeito, mesmo sendo a relação inversa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que apenas o item I está certo. Como os itens II e III também estão corretos, a alternativa está errada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que apenas o item II está certo. Como os itens I e III também estão corretos, a alternativa está errada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que apenas os itens I e III estão certos. Como o item II também está correto, a alternativa está errada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que apenas os itens II e III estão certos. Como o item I também está correto, a alternativa está errada.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que todos os itens estão certos. De fato, os itens I, II e III estão corretos, pois todos descrevem corretamente as propriedades do coeficiente de correlação e do coeficiente de determinação.

Gabarito: letra E