Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce196429

EstatísticaInferência estatística

Código: ce196429
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: CAESB-DF
Ano: 2025
Nível: Superior

Cargo: Analista de Suporte ao Negócio - Estatístico

Texto 17A2-II

Sabe-se que a indústria de computadores utiliza, como um dos componentes, GPUs (um tipo de processador especializado em cálculos paralelos, especialmente voltado para renderização de gráficos e vídeos). Em certo mercado, esses componentes são fornecidos por dois fornecedores, A e B. A velocidade de processamento, em teraflops, dos GPUs fornecidos por A, com distribuição normal, tem média de 145 e desvio padrão igual a 12. No caso dos GPUs fornecidos por B, a velocidade de processamento, em teraflops, com distribuição normal, tem média de 155 e desvio padrão igual a 20.

Um lote desses processadores, de origem não identificada, foi apreendido pela Receita Federal do Brasil e será leiloado a um preço muito convidativo. A fabricante local de computadores (F) está avaliando a possibilidade de fazer uma oferta e, para tanto, deseja saber qual é o fornecedor dos equipamentos desse lote. O edital do leilão dispõe que, pouco antes do certame, será divulgada a velocidade média de uma amostra de 25 GPUs do lote.

Diante das informações disponíveis, a fabricante F estabeleceu que escolherá como produtor dos componentes o fornecedor A, se a média da amostra for inferior a certo número y — ainda a ser determinado com base na probabilidade de esse critério de decisão implicar erro; caso contrário, escolherá o fornecedor B.

Para modelar o problema e determinar o valor y, um pesquisador da fabricante F estabeleceu as seguintes notações.

hipóteses

• H0: Os GPUs são produzidos pelo fornecedor B.

• H1: Os GPUs são produzidos pelo fornecedor A.

erros

• tipo I: Inferir que os GPUs são de A, quando, na realidade, são de B.

• tipo II: Inferir que os GPUs são de B, quando, na realidade, são de A.

Considere que, na situação hipotética apresentada no texto 17A2-II, seja escolhido um valor de y para o qual a probabilidade de ocorrer o erro do tipo I seja igual à de ocorrer o erro do tipo II. Nesse caso, aplicando-se a aproximação normal com base na Tabela - Normal Padrão de 0 a z, fornecida ao final do Caderno de Provas, a probabilidade de ocorrer o erro do tipo II será de

A5,94%.
B8,41%.
C12,7%.
D25%.
E50%.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 5,94%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Teste de hipóteses para duas médias com variâncias conhecidas: igualando erros tipo I e tipo II

Gabarito: letra A (5,94%). Quando se impõe que a probabilidade do erro tipo I (α) seja igual à do erro tipo II (β), o ponto de corte y fica exatamente no ponto médio entre as duas médias amostrais sob H0 e H1, e a probabilidade β é a área sob a curva de H1 à esquerda desse ponto. Com médias 145 e 155, desvios 12 e 20, e amostra n = 25, o cálculo pela aproximação normal leva a β ≈ 5,94%.

O problema envolve decidir entre dois fornecedores com base na média amostral de 25 GPUs. As hipóteses são:

H0: os GPUs são do fornecedor B (média 155, desvio 20)
H1: os GPUs são do fornecedor A (média 145, desvio 12)

A regra de decisão é: escolher A se a média amostral for menor que y; caso contrário, escolher B. O erro tipo I ocorre quando se escolhe A (rejeita H0) mas na verdade é B; o erro tipo II ocorre quando se escolhe B (não rejeita H0) mas na verdade é A.

Como a amostra tem tamanho 25, a distribuição da média amostral é aproximadamente normal (Teorema Central do Limite), com:

Sob H0 (B): média 155, desvio padrão da média = 20/√25 = 4
Sob H1 (A): média 145, desvio padrão da média = 12/√25 = 2,4

O ponto de corte y é o mesmo para ambos os erros. Para que α = β, y deve ser o ponto onde as duas curvas se cruzam, ou seja, o ponto médio entre as duas médias (145 e 155), pois as curvas são simétricas e têm o mesmo peso. Assim:

y = (145 + 155)/2 = 150

Agora, o erro tipo II (β) é a probabilidade de não rejeitar H0 (ou seja, média amostral ≥ y) quando na verdade H1 é verdadeira (média 145). Como a regra é escolher A se média < y, o erro tipo II é a probabilidade de a média amostral ser ≥ 150, dado que a verdadeira média é 145.

Padronizando sob H1:

Z = (150 - 145) / 2,4 = 5 / 2,4 ≈ 2,0833

β = P(Z ≥ 2,0833) = 1 - Φ(2,0833)

Consultando a tabela normal padrão, Φ(2,08) ≈ 0,9812, então β ≈ 1 - 0,9812 = 0,0188 = 1,88%. Mas isso não bate com o gabarito. Vamos verificar o cálculo com mais precisão.

Na verdade, o ponto de corte y não é simplesmente a média aritmética, pois as variâncias são diferentes. Para que α = β, precisamos encontrar y tal que a probabilidade de erro tipo I (área à esquerda de y sob H0) seja igual à probabilidade de erro tipo II (área à direita de y sob H1). Isso ocorre quando os z's são iguais em magnitude, mas com sinais opostos:

(y - 155)/4 = - (y - 145)/2,4

Resolvendo:

2,4(y - 155) = -4(y - 145) 2,4y - 372 = -4y + 580 6,4y = 952 y = 148,75

Agora, β = P(média ≥ 148,75 | H1) = P(Z ≥ (148,75 - 145)/2,4) = P(Z ≥ 3,75/2,4) = P(Z ≥ 1,5625)

β = 1 - Φ(1,5625) ≈ 1 - 0,9406 = 0,0594 = 5,94%

Portanto, a probabilidade do erro tipo II é 5,94%, o que corresponde à alternativa A.

Caso	Atribuição (y)	Resultado (β)
Ponto médio simples (errado)	y = 150	β ≈ 1,88%
Igualdade de erros (correto)	y = 148,75	β ≈ 5,94%
Corte na média de H1 (errado)	y = 145	β = 25%
Corte na média de H0 (errado)	y = 155	β = 50%

H0 verdadeira

H0 falsa

Rejeita

Erro tipo I

Correto

Não rejeita

Correto

Erro tipo II

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto, igualando α e β, resulta em y = 148,75 e β = 5,94%. A alternativa A é a única que apresenta esse valor.

Alternativa B — ❌ Incorreta

8,41% seria o resultado se o ponto de corte fosse outro, por exemplo, se y = 150 e o desvio usado fosse 2,4, teríamos Z = (150-145)/2,4 = 2,083, β ≈ 1,88%, não 8,41%. Esse valor não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

12,7% não é o valor de β. Poderia ser obtido se o ponto de corte fosse mais próximo da média de H1, mas não é o caso quando α = β.

Alternativa D — ❌ Incorreta

25% seria a probabilidade se o ponto de corte fosse exatamente a média de H1 (145), mas isso não iguala os erros.

Alternativa E — ❌ Incorreta

50% seria a probabilidade se o ponto de corte fosse a média de H0 (155), mas isso não iguala os erros.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o usar o ponto médio simples (150) em vez de resolver a equação que iguala os erros. Lembre-se: com variâncias diferentes, o ponto de corte não é a média aritmética das médias, mas sim o ponto que equilibra as áreas sob as duas curvas.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de teste de hipóteses com duas médias e variâncias conhecidas, monte a equação de igualdade dos erros: (y - μ0)/σ0 = - (y - μ1)/σ1. Isso evita erros de cálculo e garante a resposta correta.

Gabarito: letra A

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